Hallo nochmal,
also wir können ja zuerst zeigen, dass der Kern \( L \) des Gruppen-Homomorphismus' \( \varphi \) abgeschlossen ist, sprich, die Verknüpfung zweier beliebiger Elemente \( a, b \in L \) wieder in \( L \) liegt:
Wegen \( a, b \in L \) gilt zunächst \( \varphi(a) = e \) und \( \varphi(b) = e \). Für das Produkt von \( a \) und \( b \) gilt vermittels der Gruppen-Homomorphismuseigenschaft von \( \varphi \):
\( \varphi (a \circ b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) = e \cdot e = e \).
Daraus folgt \( a \circ b \in L \). Das neutrale Element ist trivialerweise in \( L \).
Das Inverse Element \( a^{-1} \) eines Elementes \( a \) ist aus folgendem Grund in \( L \):
\( \varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} = e^{-1} = e \).
Dass \( gag^{-1} \in L \) für alle \( g \in H \) und \( a \in L \), ist ebenso leicht zu ersehen:
\( \varphi(gag^{-1}) = \varphi(g)\varphi(a)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot e \cdot \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot \varphi(g^{-1}) \cdot e = e \cdot e = e \).
MfG
Mister
PS: Siehe auch
http://de.wikiversity.org/wiki/Gruppenhomomorphismus/Kern_ist_Untergruppe/Fakt_Beweis .
