Hier mal ein Anfang, ich führe das im Laufe der Zeit immer weiter aus, wenn ich Zeit habe.
Wende auf \(x^2e^{x+4}\) die Produktregel an \(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)}\):$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4})$$ Ich glaube, das was ich jetzt mache nennt man "Potenzregel:$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4}\cdot (x+4))$$ Das Ableiten von \(x+4\) ist linear und verschwindet da \((x+4)'=1+0=1\) Also haben wir:$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4})$$ "Entfaktorisieren":$$f'(x)=8x\cdot e^{x+4}+4\cdot x^2\cdot e^{x+4}$$ Nun \(f'(x)=0\) setzen:$$0=4\cdot 2x\cdot e^{x+4}+4\cdot x^2\cdot e^{x+4}$$ Achte auf gleiche Glieder und faktorisiere mit \(4e^{x+4}x\) und erhalte:$$4e^{x+4}x\cdot (2+x)=0$$ Daraus kannst du die Nullstellen \(x_1=-2\) oder \(x_2=0\) ablesen.
Nun kann man also auf d) schließen, indem man den Wert in die Ableitung einsetzt.
\(f'(-3.45)\approx 34.695>33.96\) Aussage d) ist also schon einmal falsch.
Nun müsste man die zweite Ableitung bestimmen, dafür musst du auf die Formel zur Produktregel mit drei Termen zurückgreifen. Das schaffst Du 100%. Wie man eine Kurvendiskussion durchführt und Werte einsetzt, kriegst du hin. :D
