Kurvendiskussion: f(x) = 4x2 * exp(x+4) . Konkav usw?

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = 4x² · exp(x + 4).

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an:

a. Im Punkt x = -1.42 ist f(x) konkav.
b. Im Punkt x = -3.23 ist f(x) steigend.
c. Der Punkt x = -2.07 ist ein lokales Maximum von f(x).
d. Im Punkt x = -3.45 ist die erste Ableitung von f(x) kleiner 33.96.
e. Im Punkt x = -2.22 ist die zweite Ableitung von f(x) negativ.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Komme zu keinem richtigen Ergebnis.

Comments

Aus welchem Studiengang von welcher Uni stammt denn das?

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Uni Innsbruck

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Hm... jedes Jahr dasselbe, mit Dutzenden ähnlicher Aufgaben... :-)

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Du benötigst die ersten beiden Ableitungen.

Funktionen des Typs$$f(x)=u(x)\cdot\exp\left(v(x)\right)$$kannst du nach folgendem Schema ableiten:$$f'(x)=\left(u'(x)+v'(x)\cdot u(x)\right)\cdot\exp\left(v(x)\right)$$Dabei kann der erste Faktor der Ableitung ggf. noch etwas zusammengefasst werden. Nach demselben Schema erfolgen dann bei Bedarf die weiteren Ableitungen.

Die Rechnung ist ökonomisch und übersichtlich und das Ergebnis unmittelbar in einer zur Weiterverarbeitung geeigneten Form. Das Schema ist leicht herleitbar mit der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der e-Funktion und anschließendem Ausklammern.

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Die erste Ableitung kriegt man noch einfach hin, die zweite wird etwas schreibaufwendiger und undurchsichtiger.

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Wenn man es gewohnt ist, kann man leicht die ersten zehn Ableitungen ohne großen Aufwand hinschreiben...

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Ich habe noch die Produktregel bei mehr als zwei Termen anwenden müssen.

Answer 1

Alle 5 Antworten sind falsch.

"Im Punkt x=..." ist völliger Unfug.

Es müsste heißen "An der Stelle x=..."

oder "im Punkt (x;f(x))...".

Answer 2

Hier mal ein Anfang, ich führe das im Laufe der Zeit immer weiter aus, wenn ich Zeit habe.

Wende auf $x^2e^{x+4}$ die Produktregel an $f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)}$:$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4})$$ Ich glaube, das was ich jetzt mache nennt man "Potenzregel:$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4}\cdot (x+4))$$ Das Ableiten von $x+4$ ist linear und verschwindet da $(x+4)'=1+0=1$ Also haben wir:$$=4(2x\cdot e^{x+4}+x^2\cdot e^{x+4})$$ "Entfaktorisieren":$$f'(x)=8x\cdot e^{x+4}+4\cdot x^2\cdot e^{x+4}$$ Nun $f'(x)=0$ setzen:$$0=4\cdot 2x\cdot e^{x+4}+4\cdot x^2\cdot e^{x+4}$$ Achte auf gleiche Glieder und faktorisiere mit $4e^{x+4}x$ und erhalte:$$4e^{x+4}x\cdot (2+x)=0$$ Daraus kannst du die Nullstellen $x_1=-2$ oder $x_2=0$ ablesen.

Nun kann man also auf d) schließen, indem man den Wert in die Ableitung einsetzt.

$f'(-3.45)\approx 34.695>33.96$ Aussage d) ist also schon einmal falsch.

Nun müsste man die zweite Ableitung bestimmen, dafür musst du auf die Formel zur Produktregel mit drei Termen zurückgreifen. Das schaffst Du 100%. Wie man eine Kurvendiskussion durchführt und Werte einsetzt, kriegst du hin. :D

Comments

Konkavität bestimmt du indem, du guckst, wann $f''(x)<0$ ist.