Question

Beweise folgende Aussage:

Für jedes n ≥ 1 ist die letzte Ziffer von 2^4n-1 gleich 8.

Answer 1

Für  n > 0  ist die letzte Ziffer von  2⁴ⁿ = 16ⁿ  offensichtlich gleich 6. Die letzte Ziffer von  2⁴ⁿ⁺³ = 8·2⁴ⁿ  ist demnach gleich  8, was auch für  n = 0  gilt.

Comments

Wie kommst du auf 2⁴ⁿ⁺³ ?

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Ich denke, das ist so gedacht:  Du kannst bei n≥1 anfangen, dann gilt im Exponent 4n-1 = 3, wenn du dann bei n=0 anfängst, also ein "Schritt" vorher, musst du quasi "ein n manuell dazu zählen", da da "4n" steht heißt das "plus 4". Also etwa so: 4n-1 + 4 = 4n+3

Ist ein bisschen komisch erklärt, aber ich hoffe man versteht das...

Was ich mich viel mehr frage ist: Warum ist die letzte Ziffer von 16ⁿ so "offensichtlich" immer 6? Klar, das funktioniert, wenn man ein paar Werte einsetzt und das ausprobiert, aber wie komme ich da drauf? Und muss man das nicht irgendwie beweisen? 

Und der Schluss davon auf, dass von 8·2⁴ⁿ die letzte Ziffer immer 8 ist erschließt sich mir auch nicht so ganz..

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Seien  x  und  y  beliebige natürliche Zahlen, deren letzte Ziffer jeweils gleich  6  ist. Diese lassen sich schreiben als  x = 10·r + 6  sowie  y = 10·s + 6  mit geeigneten natürlichen Zahlen  r  und  s. Für deren Produkt gilt  x·y = 10·(10·r·s + 6·r + 6·s + 3)  + 6.
Analog zeigt man, dass das Produkt aus  8  und einer Zahl, deren letzte Ziffer gleich  6  ist, als letzte Ziffer die  8  haben muss.