Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für drei aufeinanderfolgende Ziehungen einer weißen Kugel?

Question

Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge

In einer Urne befinden sich 2 weiße und 8 schwarze Kugeln. Bei k aufeinanderfolgenden Ziehungen wird jeweils eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei k Ziehungen mindestens einmal mindestens drei weiße Kugeln nacheinander gezogen werden?

Gibt es eine geschlossene Formel dafür? Falls nicht, der mich am meisten interessierende Fall ist k=58.

Zusatzfrage:

In der Urne befinden 5 mal 2 Kugeln in einer Farbe (also etwa 2 weiße, 2 rote, 2 gelbe, 2 grüne, 2 blaue). Gezogen wird wie oben beschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei k Ziehungen mindestens einmal mindestens drei Kugeln der gleichen Farbe nacheinander gezogen werden?

Ich würde annehmen, wenn p die Wahrscheinlichkeit für das erstgenannte Szenario ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Variante 1 - (1-p)⁵. Ist das korrekt?

Comments

Es wäre interessant zu wissen aus welchem Grund du dich dafür interessiert. Ist das eine Aufgabe aus der Uni oder ist die Frage eher privater Natur.

Hilft es wenn ein Computerprogramm die Möglichkeiten einfach durchzählt?

Normal würde man vorgehen das man k = 3, 4, 5, 6, 7, ... mal untersucht und die dabei gefundenen Erkenntnisse versucht auf jede beliebige Zahl k zu erweitern.

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Das ist ein Modell für das Auswahlverfahren eines Literaturpreises, über den ich meine (literaturwissenschaftliche) Masterarbeit schreibe. Die Farben stehen für Länder, mich interessiert, "ob es noch Zufall sein kann", wenn in 58 Jahren noch nie drei mal nacheinander der Gewinner aus dem gleichen Land kam.

Durchzählen würde helfen, aber 2⁵⁸ sind schon ganz schön viele Möglichkeiten.

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Kann man denn davon ausgehen das ein Land immer mit der Wahrscheinlichkeit von 1/5 = 20% den Literaturpreis bekommt?

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Nein, das kann man nicht. Es gehört nicht zu den Kriterien, dass die Länder gleichmäßig berücksichtigt werden müssen. Deshalb ist das hier ein "Modell", eine vereinfachte Abbildung, und das hier erhaltene Ergebnis mit Vorsicht zu übertragen.

Answer 1

Im Laufe der Ziehungen können folgende Fälle eintreten:

• Z₀: Es wurde zuletzt keine weiße Kugel gezogen und noch nie drei weiße Kugeln hintereinander.
  
• Z₁: Es wurde zuletzt eine weiße Kugel gezogen und noch nie drei weiße Kugeln hintereinander.
  
• Z₂: Es wurden zuletzt zwei weiße Kugel hintereinander gezogen und noch nie drei weiße Kugeln hintereinander.
• Z₃: Es wurde im Laufe der Ziehungen schon ein mal drei weiße Kugel hintereinander gezogen.
  

In diesem Zusammenhang werden die Fälle als Zustände bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeiten, von einem Zustand bei der nächsten Ziehung in einen anderen zu gelangen, werden in eine Matrix eingetragen:

      \(M = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,8 & 0,8 & 0\\ 0,2 & 0& 0 & 0\\ 0 & 0,2 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0,2&1 \end{pmatrix}\)

Der Eintrag in Spalte i Zeile j gibt die Wahrscheinlichkeit an bei einer Ziehung im Zustand Z_j zu landen, wenn man vor der Ziehung im Zustand Z_i war (Nummerierung der Zeilen und Spalten beginnt bei 0).

Die Wahrscheinlichkeiten, sich in einem bestimmten Zustand zu befinden, werden in einen Vektor eingetragen. Vor der ersten Ziehung ist das

        \(v = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\).

Der Eintrag in Zeile i gibt die Wahrscheinlichkeit an, sich im Zustand Z_i zu befinden.

Berechne \(M^{58}\cdot v\). Die letzte Komponente gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass nach \(58\) Ziehungen mindest ein mal drei weiße Kugeln hintereinander gezogen wurden.

Comments

Danke, das hört sich schlüssig an.

Bin unterwegs und kann deshalb die Rechnung gerade nicht durchführen, werde aber das Ergebnis (oder eine Nachfrage) nachliefern.

Stimmt meine Überlegung zur Variante mit 5 Farben?

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Die Rechnung ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 30,79% dafür, dass bei 58 Ziehungen mindestens einmal drei weiße Kugeln nacheinander gezogen wurden. (Und stimmt für k=3, 4 oder 5 mit den durch Auszählen aller Varianten ermittelten Wahrscheinlichkeiten überein.)

Für die Variante von 5 mal 2 Kugeln mit je gleichen Farben ergibt sich dann nach meiner Überlegung eine Wahrscheinlichkeit von 84,13% bei 58 Ziehungen mindestens eine Folge von drei gleichfarbigen Kugeln zu ziehen.

Das Schöne an dem Berechnungsverfahren ist, dass die Übergangsmatrix für jede Ziehung variiert werden kann. Damit kann ich ein bißchen realitätsgerechter modellieren (Es waren nicht immer 10 Kugeln in der Urne, sondern zwischen 9 und 14).

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Ergänzende Frage:

Ich habe nun eine Stichprobe des Umfangs 1 für die Durchführung dieses Experiments (58 Ziehungen aus der Urne mit Prüfung auf Auftreten einer 3er-Folge gleicher Farben). Dabei ist keine 3er-Folge gleicher Farben aufgetreten (was mit 84% Wahrscheinlichkeit hätte passieren sollen, falls das Experiment dem Urnenmodell entspricht).

Kann ich die Nullhypothese, das Experiment ließe sich als die beschriebene Zufallsgröße charakterisieren (Die Auswahl des Preisträgers entspricht einem zufälligen, gleichverteilten Ziehen einer Kugel aus einer Urne), verwerfen und ggf. mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit?

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In der Urne befinden 5 mal 2 Kugeln in einer Farbe (also etwa 2 weiße, 2 rote, 2 gelbe, 2 grüne, 2 blaue)

Das kann man rechnen indem man den Zustandsraum anpasst:

• Z₀: es wurde noch keine Kugel gezogen.
• W₁: Es wurde zuletzt eine weiße Kugel gezogen und noch nie drei Kugeln gleicher Farbe hintereinander
• W₂: Es wurden zuletzt zwei weiße Kugel hintereinander gezogen und noch nie drei Kugeln gleicher Farbe hintereinander.
• R₁: Es wurde zuletzt eine rote Kugel gezogen und noch nie drei Kugeln gleicher Farbe hintereinander.
• ...
• Z₃: Es wurde im Laufe der Ziehungen schon ein mal drei Kugeln gleicher Farbe hintereinander gezogen.
  

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Auch das hört sich schlüssig an. Man erhält dann eine 12x12-Matrix, die meines Erachtens so ausschaut:

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0,2 & 0& 0& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0 \\ 0& 0,2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0,2& 0,2& 0,2& 0& 0& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0 \\0& 0& 0& 0,2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0& 0& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0\\0& 0& 0& 0& 0& 0,2& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0& 0& 0,2& 0,2& 0 \\0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0,2& 0& 0& 0& 0 \\0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0,2& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0,2& 0& 0\\0& 0& 0,2& 0& 0,2& 0& 0,2& 0& 0,2& 0& 0,2& 1 \end{pmatrix} $$

Damit gerechnet, erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 85,92% für mindestens einmal drei gleichfarbige Kugeln nacheinander bei 58 Ziehungen.

Das Ergebnis weicht von meiner vorgeschlagenen Berechnung, 1- (1-p)⁵, wobei p die Wahrscheinlichkeit für drei aufeinanderfolgende weiße Kugeln ist, ab. Hier errechne ich 84,13%. Der "einfache Fall" k=3 verdeutlicht, dass wohl die Berechnung mit der Matrix richtig ist, hier ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 4% für drei gleichfarbige Kugeln, was sich durch Auszählen bestätigen lässt. Meine Formel ergäbe 3,94%, ist also falsch. Aber warum, wo ist der Fehler im Gedankengang? Sind die Ereignisse "Es werden keinmal drei weiße Kugeln nacheinander gezogen" und "Es werden keinmal drei rote Kugeln nacheinander gezogen" nicht unabhängig voneinander? (Denn das ist mir klar, die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten geht nur bei unabhämgigen Ereignissen.)

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Wenn kein mal drei weiße Kugeln hintereinander gezogen wurden, dann ist eine der ersten drei Kugeln rot, gelb, grün oder blau. Insbesondere ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass als dritte Kugel eine rote gezogen wurde, nicht mehr 1/5. sondern 25·(1/5)³ / (1-1/5³) = 25/124 = 1/5 + 1/620 > 1/5.

Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit, das die dritte, vierte und fünfte Kugel rot sind.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von "3 rote hinteinander" unter der Bedingung "keine 3 weiße hinteinander" ist somit nicht gleich der totalen Wahrscheinlichkeit von "3 rote hinteinander". Also sind "3 rote hinteinander" und "keine 3 weiße hinteinander" nicht unabhängig. Somit sind auch "3 rote hinteinander" und "3 weiße hinteinander" nicht unabhängig.

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Super Antwort.

Mir kam leider nicht gleich die Idee, dass über eine Markov-Kette zu modellieren. Ich wollte eigentlich heute nochmals näher darüber nachdenken.

Von mir einen großen Daumen für diese prima Antwort.