Hi,
was hast Du denn angestellt, sowas rechnen zu müssen? :P
Ich leg einfach mal los und schau wo ich hinkomme. Sieht spaßig aus ;).
$$\sqrt{x\sqrt x - x} + \sqrt x = x \quad|\text{quadrieren, auf Binomi achten (wobei }x\sqrt x = x^{\frac32})$$
$$(x^{\frac32}-x)\; +\; 2\sqrt{x^{\frac32} - x} \cdot \sqrt x + x = x^2\quad|\text{Sortieren}$$
$$\sqrt{x(x^{\frac32}-x)} = \frac{(x^2-x^{\frac32})}{2} \quad|\text{nochmal quadrieren}$$
$$x^{\frac52}-x^2 = \frac{x^4-2x{\frac72}+x^3}{4} |u = x^{\frac12}$$
$$4u^5 - 4u^4 - u^8 + 2u^7 - u^6 = 0$$
$$-u^4(u^4-2u^3+u^2-4u+4) = 0$$
Nun kann man Nullstellen raten. Diese müssen Teiler des Absolutgliedes sein, wenn sie ganzzahlig sein sollen.
Damit findet man \(u = 1\) und \(u = 2\). Faktoriseren (bspw mit Polynomdivision) ergibt:
$$-u^4(u-1)(u-2)(u^2+u+2) = 0$$
Letzterer Faktor lässt sich nicht weiter faktorisieren.
Wir haben
\(u_{1-4} = 0, u_5 = 1\) und \(u_6 = 2\).
Resubstituieren ergibt die Lösungen:
\(x_1 = 0, x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\)
Eine Probe bestätigt diese Ergebnisse :).
Grüße
