Wie beweise davon dass es keine Menge M eine bijektive Abbildung von M auf die Potenzmenge P(M) ist?

Question

Es soll bewiesen werden dass keine Menge M eine bijektive Abbildung von M auf die Potenzmenge P(M) ist.

Ich versuche dies über eine Gegenbeispiel zu beweisen indem ich annehme die Abbildung seie surjektiv und indem ich den Widerspruch finde kann ich daraus folgern dass die Abbildung nicht bijektiv sei.

$$f:M → Π(M) \\ :=X∈M|x∈X \\ X⇔(x∈M|x⊄f(x)) \\ x∈X⇔x⊄f(x)⇔x⊄X \\ ↯$$

Ich habe probleme jedoch nachzuvollziehen woher

$$x⊄f(x)$$

kommt und wieso es definiert wird?

Comments

Es soll bewiesen werden dass keine Menge M eine bijektive Abbildung von M auf die Potenzmenge P(M) ist.

Voelliger Bloedsinn, was Du da so schreibst. Fang mal damit an, die Problemstellung korrekt zu erfassen, um sie dann unfallfrei reproduzieren zu koennen.

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"Voelliger Bloedsinn, was Du da so schreibst. Fang mal damit an, die Problemstellung korrekt zu erfassen, um sie dann unfallfrei reproduzieren zu koennen. "

du bist ein ganz Starker, wa? Fang mal damit an, nicht so überheblich daherzuschwallen, um unfallfrei sozial interagieren zu können.

PS: Umlaute sind keine Schande.

Answer 1

Vermutlich meinst du das Folgende:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor#Beweis

Insbesondere den Nachweis von:

Es gibt keine surjektive Abb. von A nach Π(A).

Dazu nimmt man an, dass es doch so eine Abb. f gibt und

betrachtet die Menge M = {x ∈ A | x ∉ f(x) }. Das muss man

nun mal in Ruhe überdenken:

Durch f wird ja jedem Element x aus der Menge A eine

Teilmenge f(x) von A zugeordnet.  Dann gibt es ja nur

die Möglichkeit, das x wieder ein Element dieser zugeordneten

Teilmenge ist oder nicht. Also x ∈ f(x) oder x ∉ f(x) .

  Für die Menge M werden nun alle diejenigen x'e aus A betrachtet,

 für die das zweite gilt.  Wäre nun f surjektiv, dann müsste es ja ein

Element a in A geben, dem die Menge M zugeordnet wird, also ein a

mit  f(a) = M. Dies führt zu dem beschriebenen Widerspruch, also

gibt es keine surjektive Abb. von A nach Π(A).