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Seien (G, •) und (H, •) Gruppen. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung

 (G × H) × (G × H) → G × H

((g1, h1), (g2, h2)) → (g1 ·G g2, h1 ·H h2)
eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen Produkt G × H definiert.

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Assoziativität:

Seien (g1, h1), (g2, h2), (g3, h3) ∈ G×H.

Dann ist

    ((g1, h1) • (g2, h2)) • (g3, h3)

 = (g1•g2, h1•h2) • (g3, h3)

 = ((g1•g2)•g3, (h1•h2)•h3)

und

    (g1, h1) • ((g2, h2) • (g3, h3))

 = (g1, h3) • (g2•g3, h2•h3)

 = (g1•(g2•g3), h1•(h2•h3)).

Begründe warum

    ((g1•g2)•g3, (h1•h2)•h3) = (g1•(g2•g3), h1•(h2•h3))

ist.

Neutrales Element:

Begründe warum (1G, 1H) neutrales Element von G×H ist.

Invertierbarkeit:

Sei (g, h) ∈ G×H.

Begründe warum (g-1, h-1) • (g, h) = (g, h) • (g-1, h-1)  = (1G, 1H) ist.

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