Gruppenaxiom kartesisches

Question

Seien (G, •) und (H, •) Gruppen. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung

 (G × H) × (G × H) → G × H

((g1, h1), (g2, h2)) → (g1 ·G g2, h1 ·H h2)
eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen Produkt G × H definiert.

Answer 1

Assoziativität:

Seien (g₁, h₁), (g₂, h₂), (g₃, h₃) ∈ G×H.

Dann ist

    ((g₁, h₁) • (g₂, h₂)) • (g₃, h₃)

 = (g₁•g₂, h₁•h₂) • (g₃, h₃)

 = ((g₁•g₂)•g₃, (h₁•h₂)•h₃)

und

    (g₁, h₁) • ((g₂, h₂) • (g₃, h₃))

 = (g₁, h₃) • (g₂•g₃, h₂•h₃)

 = (g₁•(g₂•g₃), h₁•(h₂•h₃)).

Begründe warum

    ((g₁•g₂)•g₃, (h₁•h₂)•h₃) = (g₁•(g₂•g₃), h₁•(h₂•h₃))

ist.

Neutrales Element:

Begründe warum (1_G, 1_H) neutrales Element von G×H ist.

Invertierbarkeit:

Sei (g, h) ∈ G×H.

Begründe warum (g^-1, h^-1) • (g, h) = (g, h) • (g^-1, h^-1)  = (1_G, 1_H) ist.