komplexe Zahlen Lösungsmenge von z^2 = 3 + 4 i bestimmen. Real- und Imaginärteil von z^2 und 3+ 4i vergleichen.

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z² = 3 + 4 i, indem sie Real- und Imaginärteil von z² und  3+ 4i vergleichen.

also bei 3+ 4i kann ich mir Realteil = 3 und Imaginärteil = 4 herleiten aber dann weiß ich nicht weiter ..

Answer 1

Hallo Jenny,

z = x + yi

z² = (x+y·i)² = x² + 2xy·i + y² i²  = x² + 2xy·i  + y² i² = x² + 2y·i + y² · (-1)

    =  x² + 2yi - y²  =  x² - y² + 2xy·i         (Realteil ,  Imaginärteil)

         Vergleich mit  3 + 4·i

          x² - y²  = 3   und   2xy = 4  →  y = 2/x

          x² - (2/x)² = 3  ⇔  x² - 4/x² = 3  ⇔  x⁴ - 4 = 3x²

        ....

        Die Gleichung x⁴ - 3x² - 4 = 0   ( Substitution u = x² )

        ergibt  mit der pq-Formel:  x = ± 2          →  y = ± 1

Also  z₁ = 2 + i   ;   z₂ = -2 - i

 Gruß Wolfgang

Answer 2

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