Kettenregel, einfaches Beispiel

Question

ich soll die Funktion f(g(x)) betrachten

mit der inneren Funktion g(x)

und der äußeren Funktion f(g)

die Formel für die Kettenregel lautet:

df/dx= df/dg * dg/dx

df/dg ist die äußere Ableitung und dg/dx die innere Ableitung.

Aufgabe: die Funktion f(x)= \( \sqrt{3x^2+8} \) ist gegeben. Leiten Sie diese Funktion mit der obigen Formel für die Kettenregel ab.

Ich hätte die Funktion folgendermaßen abgeleitet.

Erst umschreibe ich den Wurzelausdruck

f(x)= \( \sqrt{3x^2+8} \) = (3x^2+8)^1/2

innere Funktion: 3x^2+8 abgeleitet ergäbe 6x

äußere Funktion ist f(g)= (3x^2+8)^1/2

Also ist die Ableitung d/dx f(x)= 1/2* (3x^2+8)^-1/2 * 6x = 3x/\( \sqrt{3x^2+8} \)

Wie mache ich das aber mit der obigen Formel?

df/dx= 1/2* 1/\( \sqrt{g} \) *6x= 3x/\( \sqrt{3x^2+8} \) ?

die 1/2 wegen dem Wurzelausdruck?

Answer 1

f(x) = (3·x^2 + 8)^{1/2}

Unterteilen in innere und äußere Funktion

z(x) = 3·x^2 + 8

z'(x) = 6·x

f(z) = z^{1/2}

f'(z) = 1/2*z^{-1/2}

Damit ist

f'(x) = 6·x·1/2·(3·x^2 + 8)^{-1/2}

f'(x) = 3·x·(3·x^2 + 8)^{-1/2}

f'(x) = 3·x / √(3·x^2 + 8)

Dein Ergebnis ist also völlig korrekt.

Comments

Aber df/dx= 1/2*1/\ (\sqrt{g} \) *6x

Wie komt man drauf?

innere Funktion= 3x^2+8

äußere ": f(g)= \( \sqrt{g} \)

Auf die 1/2 kommt man weil man den Wurzelausdruck umschreibt?

und weshalb multipliziert man mit 1/ Wurzel aus g.

Die konventionelle Art der Ableitung ist mir bekannt, aber ich bin mir bei der Formel oben unsicher.

---

Was ist die Ableitung von

y = √x = x^{1/2}

Ableitung heir ganz normal nach Potenzregel.