Hat jemand ein einfaches Beispiel um das hier zu widerlegen?

Question

Aufgabe:

x, y monoton wachsend =⇒ x ·y monoton wachsend.

Hallo hat jemand ein einfaches beispiel für mich um das hier zu wiederlegen?

danke

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Siehe Anwort unten.

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x ∈ { 1, 2, 3 }

y ∈ { -3, -2, -1 }

x*y ∈ { -3, -4 -3 }

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Betrchte z.B. die Funktionen

\( f(x) = x \)

\( g(x) = -e^{-x}-1 \)

Die sind beide monton steigend \( f'(x) = 1 \ge 0 \) und \( g'(x) = e^{-x} \ge 0  \)

Jetzt ist \( (f \cdot g)(x) = -xe^{-x} - x \)

Ableitung

\( (f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = -e^{-x} - 1 + xe^{-x} = e^{-x}(x-1 - e^x) \)

Es gilt aber für alle x \( e^x > x \), somit \( 0 > x - e^x > x - 1 - e^x \), da aber \( e^{-x} > 0 \) ist somit \( (f\cdot g)'(x) < 0 \) und das Produkt somit monoton fallend.

Answer 1

\(x_n=y_n=-1/n\) wachsen monoton, aber \( (x_n \cdot y_n)=(1/n^2)\) fällt monoton.

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Vielen Dank!