Funktionsgleichung bestimmen (Polynom 3. Grades)

Question

Meine Aufgabenstellung lautet:

"Ein Polynom dritten Grades f(x) schneidet die x-Achse bei x=2 und die y-Achse bei y=-2. Das Polynom hat bei x=1/3 einen Wendepunkt und besitzt in x=1 sowie x=-1 dieselben Funktionswerte.

Wie lautet die Funktionsgleichung von f(x)?"

Aus den gegebenen Angaben kann ich aus f'' (1/3) = 0, f (2) = 0 und f (0) = -2 drei von vier benötigten Gleichungen bestimmen, um die Unbekannten a, b, c und d zu berechnen. Die vierte Gleichung fehlt mir aber noch.

Meine Frage: Welche Information entnehme ich der Angabe, dass x=1 und x=-1 dieselben Funktionswerte hat? Bzw. woher bekomme ich meine vierte Gleichung?

Answer 1

Hi,

Deine Bedingungen sind soweit korrekt aufgestellt.

f'' (1/3) = 0, f (2) = 0 und f (0) = -2

Fehlt noch die letzte. Nimm das dabei ruhig wörtlich: f(1) = f(-1) ist die fehlende Bedingung.

Ich komme dann auf:

f(x) = x^3-x^2-x-2

also a = 1, b = -1, c = -1 und d = -2

Grüße

Answer 2

 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f(2) = 0

f(0) = -2

f''(1/3) = 0

4. Gleichung: 

f(1) = f(-1), also

a + b + c + d = -a + b -c + d | +a - b + c - d

2a + 2c = 0

Besten Gruß