Gilt |f(x)-f(y)|>=λ|x-y| mit einem λ>0 so ist f ein Diffeomorphismus auf f(Ω)

Question

Sei Ω ∈ ℝn offen und f: Ω→ℝn stetig differenzierbar. Gilt

|f(x)-f(y)|>=λ|x-y|                  x,y∈Ω

mit einem λ>0 so ist f ein Diffeomorphismus auf f(Ω).

Also ich weiß dass ich jetzt zeigen muss dass f bijektiv und über stetig differenzierbar ist und dass auch f^-1 über stetig differenzierbar ist. Doch leider hab ich keinen Plan wie man das macht. Kann mir da jemand weiterhelfen und mir Tipps geben?

Comments

Was hast Du denn bisher so? Kannst Du schon was zur Surjektivitaet von \(f:\Omega\to f(\Omega)\) sagen? Was ist mit Injektivitaet?

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Also die Injektivität habe ich. Seien x,y ∈Ω mit x≠y beliebig.Damit ist auch |x-y|>0 und somit auch |f(x)-f(y)| >0. Außerdem gilt nach Voraussetzung |f(x)-f(y)| ≥ λ|x-y|,  also f(x)≠ f(y). Somit ist f injektiv.

Wie zeige ich jetzt aber den Rest

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Klingt wirr, was Du schreibst, hat aber womoeglich den richtigen Kern. Surjektivitaet ist trivial, da muss Dir was zu einfallen.

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Ah ja also f ist surjektiv, da der Bildbereich auf das Bild von f eingeschränkt wird. Doch wie zeigt man jetzt noch den Rest?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass f ein Diffeomorphismus ist auf f(Ω).

Stichworte: diffeomorphismus,stetigkeit,funktion,stetig,differenzierbar

Sei Ω ⊂ R^{n} offen und f: Ω → R^{n} stetig differenzierbar. Gilt

abs(f(x)- f(y)) ≥ λ abs(x - y) ,  x,y ∈ Ω,

mit einem λ > 0, so ist f ein Diffeomorphismus auf f(Ω).

ich hoffe ihr könnt mir hier weiter helfen :)

Vielen Lieben Dank

so besser?:

Ιf(x)- f(y)Ι ≥ λ Ιx - yΙ

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Diffeomorphismus auf Stetigkeit überprüfen

Ist das die Frage oder versteckt sich die Frage in

Sei Ω ⊂ R^{n} offen und f: Ω → R^{n} stetig differenzierbar. Gilt

abs(f(x)- f(y)) ≥ λ abs(x - y) ,  x,y ∈ Ω,

mit einem λ > 0, so ist f ein Diffeomorphismus auf f(Ω).

?

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also das Obere ist meine zusammenfassung sowie ich die frage verstanden habe.

Das untere Habe ich eins zu eins abgeschrieben.

Da sonst über dem nur Schriftaufgabe steht sonst nix

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Das untere Habe ich eins zu eins abgeschrieben.

Dann sollst du vermutlich diese Folgerung beweisen ( erklären / irgendwo) verwenden.

" so ist f ein Diffeomorphismus auf f(Ω). "

Ich habe die Überschrift nun gemäss meiner Vermutung korrigiert.

Answer 1

Hallo

 vergleiche mit der Ableitung, nimm x>y dann unterscheide f(x)-f(y)>0 und < 0

in beiden Fällen bekommst du Monotonie von f

Gruß lul

Comments

die Ableitung wäre ja dann

einfach wieder x -y und -(x-y) oder nicht?

oder wie funktioniert das

da ich ja nicht auch f(x) gleich umformen kann.

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Ιf(x)- f(y)Ι ≥ λ Ιx - yΙ

If(x1)-f(y1)I ≥δ Ix1-y1I ⇒
If(x2)-f(y2)I ≥δ Ix2 -y2I

und

If(-x)- f(y)I≥δI−x− yI
⇒ Ιf(x)- f(y)Ι ≥ λ Ιx - yΙ

ich komm so leider auch irgwie nicht weiter..

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Ich komm leider nicht dahinter.

Ich hab ja auch keine richtige funktion um ableiten zu können.

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könntest du mir es bitte zeigen?

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Wie geht die Aufgabe :)

Bekomme es echt nicht von alleine hin :)

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Lies mal die Diskussion hier: https://www.mathelounge.de/579837/gilt-f-x-f-y-x-y-mit-einem-0-so-ist-f-ein-diffeomorphismus-auf-f