Zeige f gibt einen Diffeomorphismus auf ℝ3∖{(0,0,z):z∈ℝ}

Question

die Abbildung lautet f: ℝ³∖{(0,0,z):z∈ℝ}-> ℝ³, (x,y,z)->(x(x²+y²),y(x²+y²),z)

a) Zeige f gibt einen Diffeomorphismus auf ℝ³∖{(0,0,z):z∈ℝ}

b) Wie bestimmt man welchen Flächeninhalt das Bild des Zylinderstücks Z={(x,y,z):x²+y²=1,z∈[-1,1]} unter f hat?

c) Erhält man mit der Einschränkung von f auf Z eine Karte für f(Z)?

Comments

a)

Dies ist eine Anwendung des Satzes über lokale Umkehrbarkeit. Berechne die Determinante der Jacobimatrix:$$\det J_f(x,y,z)=\det \begin{pmatrix} 3x^2+y^2 & 2xy & 0 \\ 2xy & 3y^2+x^2 & 0 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 3x^2+y^2 & 2xy \\ 2xy & 3y^2+x^2 \end{pmatrix}=3(x^2+y^2)^2>0$$ Diese ist für alle \((x,y)\neq (0,0)\) größer Null. Nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit exisitieren nun offene Umgebungen und ein Diffeomorphismus zwischen diesen.

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Hallo kann man das wirklich auch so zeigen? Wir hatten das immer mit Bijektivität und Stetig differenzierbar