Tangentialebene parallel zur xy Ebene

Question

Hi,

Wir haben die Funktion f: x-> (sin(x))²+y².

Ich soll nun alle Stellen (x,y) bestimmen, bei denen die Tangentialebene an den Graphen parallel zur xy-Ebene ist.

Als zweites soll ich zu f alle isolierten lokalen Extrame finden. WIe geht das ? Wenn sin da ist ist es doch periodisch und es gibt unendlich viele isolierte lokale Extrema.

Answer 1

\(z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)

\(z=\sin^2(x_0)+y_0^2+2\cos(x_0)\sin(x_0)(x-x_0)+2y_0(y-y_0)\).

Diese Tangentialebene an \(f\) im Punkt \((x_0,y_0)\) ist parallel zur xy-Ebene, genau dann, wenn der Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 2\cos(x_0)\sin(x_0)\\2y_0\\-1 \end{pmatrix}\) der Tangentialebene ein Vielfaches vom Normalenvektor der x-y-Ebene ist (dieser ist \(\vec{n}_{xy}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\)). Das liefert dir zwei Bedingungen. Viel Spaß beim Lösen.

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vielen dank :)