tangentialebene, stationäre Punkte, lokales minimum, lokales Maximum

Question

z=ƒ(x,y)=x²-y³-3xy+2x

a) man berechne die Gleichung der tangentialebene von ƒ an der stelle(x,y) = (-1,1) in der form

z= ax+by +c

b) man bestimme alle stationären punkte von ƒ und gebe deren typ an (lok. Min, Lok. max., sattelpunkt)

Answer 1

z=ƒ(x,y)=x²-y³-3xy+2x

a) man berechne die Gleichung der tangentialebene von ƒ an der stelle(x,y) = (-1,1) in der form

z= ax+by +c

Erst mal den Gradienten grad(f) (x;y) = ( 2x -3y +2  ;   -3y^2 - 3x )
An der Stelle (-1;1) also  ( -3 ; 0 )
Skalarprodukte mit den Einheitsvektoren in x und y Richtung gibt
  ( -3 ; 0 ) * ( 1;0) = -3   und    ( -3 ; 0 ) * ( 0;1) = 0
also sind Richtungsvektoren der Tangentialebene
( 1 ; 0; -3 ) und  ( 0 ;1 ; 0  )
Ein Normalenvektor der beiden ist   z.B. ( 3 : 0 ; 1 ) .
Also Ebenengleichung
3x + 0y + z = d und Einsetzen von P ( -1 ; 1 ;   1 ) gibt
d= -2  also
E :   3x + 0y + z = -2
  bzw   z = -3x + 0y - 2

stat. Punkte, also welche mit grad(f)(x;y) = ( 0;0) sind
2x-3y+2 = 0     und   -3y^2 - 3x = 0
                                           -3x = 3y^2
                                               x = - y^2
-2y^2 - 3y + 2 = 0
   y^2  + (3/2)y - 1 = 0
   y = 1/2   oder   y = -2   dazu die x-Werte
  x= -1/4               x=-4
Also zwei stat. Punkte (   1/2   ;  -1/4 ) und   ( -2 ; -4 ).
Jetzt noch mit Hessematrix klassifizieren.