Für welche x ∈ R konvergiert die folgende Reihe?

Question

Es geht um die folgende Reihe:

$$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 n + 1 } { n } \right) ^ { n } \left( \frac { x } { 1 + x } \right) ^ { n }$$

ich brauche nicht die ganze lösung sondern nur den Ansatz... ich kann potenzreihen aber diese ist ziemlich kompliziert komme einfach nicht drauf wie ich starten soll...

Comments

Kann man einen Vergleich mit geometrischen Reihen machne, wenn man gemäss Potenzgesetzen die beiden Faktoren zu einem Bruch zusammenfasst?

x/(x+1) = 1/((x+1)/x) = 1/(1 + 1/x)

nun hoch n und Grenzwert --> 1/(eulersche Zahl).

Erster Faktor funktioniert "ähnlich".

Achtung: Kann sein, dass ich dich hier auf einen Holzweg oder zumindest Umweg führe.

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ja genau hier kommt man auf 1/e... aber was bringt das uns genau? ist das mein x_0?

mfg

Answer 1

Hallo

du nennst x/(1+x)=z und suchst den Konvergenzradius r, danach erst bestimmst du aus r=x/(1+x) den für x

Gruß lul

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ich komme mit dem Wurzelkriterium auf r=1/2

wie bekomme ich nun x_0?

r= x/(1+x) -> r_x=2?!

ist mein x_0 vielleicht 0?

mfg

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Hallo

 du musst ja eigentlich haben x/(1+x)<1/2

 da musst du zwischen x>-1 und x<-1 unterscheiden

x>-1 , x<1/2x+1/2   x<1

x<-1 x>1/2x+1/2, x>1 nicht vereinbar .

was x_0 hier soll verstehe ich nicht, was "dein x_0 ist schon gar nicht.

Gruß lul

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ich brauche ein x_0. das ist mein entwicklungspunkt oder nullstelle eben. damit ich mir dem Radius dann mein Konvergenzintervall bestimmen kann... aber ok hier ist das wohl nicht nötig. sonnst kann man das ablesen, wenn x^n da steht, dann ist x_0 = 0 und dann kann man mit dem radius gleich das intervall bestimmen...

aber bei dieser Aufgabe klappt das nicht wirklich.

also ist das ergebnis. konvergent für x>-1...

vielen Dank

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Hallo

 1. für z steht da ja (z-0)^n

 und x>-1 ist falsch -1<x<1

Gruß lul

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ja genau danke fürs erinnern. es gilt ja |x| also +-1... und es soll ja noch = 1/2 sein.. also -1 < x < 1

danke sehr

Answer 2

setze

x/(x+1)=1-1/(x+1):=z

und bestimme zuerst den Konvergenzradius bzgl. z mithilfe der Formel von Cauchy-Hadamard. Dann bekommst du das ^n weg.

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wie wärs wenn ich mit dem wurzelkriterium radius R bekomme?

oder wie mache ich das genau mit chauchy? welche minorante und majorante soll ich genau nehmen?

((2n+1)/n)^n ist eindeutig wurzelkriterium aber der teil mit (x/(1+x))^n iritiert...

mfg