Folgern aus Körperaxiomen über K: (−x) * y = −( x * y ) = x * (−y)

Question

Man soll folgende Aufgabe beweisen, durch Körperaxiomen über K:

(−x) * y = −( x * y ) = x * (−y)

Meine Vorgehensweise:

(-x) * y = ((-1) * x) * y |"Additive Inverse von x".

(-1) * (x * y) | "Assoziativität"

-(x*y) = -(y*x) | Kommutativität

((-1)*y)*x | Assoziativität

(-y) * x | Kommutativität -> x*(-y)

Warum ist es falsch? Bzw. Wie verwendet man das Distributivgesetz hier? Und warum ist es wichtig für den Beweis?

Wie man sieht komme ich ja durch Assoziativität und Kommutativität ja auf das Endergebnis eig.

Mfg

Answer 1

Das Körperaxiom vom "additiven Inversen" besagt nur:

Zu jedem x gibt es ein -x mit x+(-x) = (-x)+x = 0 .

Dass -x = (-1)*x ist, ist kein Körperaxiom, sondern ein

daraus ableitbarer Satz.