Komplexe Zahlen: a) Bestimmen Sie beide Quadratwurzeln der Komplexen Zahlen 2i und 5+ 12i.

Question

Hallo ich komme leider bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen

die Aufgabe lautet :

Sei w ∈ ℂ. Eine komplexe Zahl z ∈ ℂ ist eine Quadratwurzel von w, wenn z^2= w gilt.

a) Bestimmen sie beide Quadratwurzeln der Komplexen Zahlen 2i und 5+ 12i.

b) Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung  z^2= 3z-2+ i (2-z).

c) Es sei w = a+i*b ∈ ℂ mit  b≠0. Es sei z= x1+i*y1 die Quadratwurzel von w mit x1> 0

i) Zeigen sie, dass x1= √(a+/w/)/2 gilt      > /w/ soll den Betrag darstellen

ii) Leiten sie eine Formel für y1 in Abhängigkeit von a, b und /w/ her.

☺

Comments

Achtung: c) wurde inzwischen als eigene Frage eingestellt.

b) auch

von "neuem User" https://www.mathelounge.de/user/lillyfee

Daher oben abgeschwächt. (Kann auch entfernt werden).

Answer 1

a) Bestimmen sie beide Quadratwurzeln von 5+ 12i.

a+bi=√(5+12i)

(a+bi)²=5+12i

a²-b²+2abi=5+12i

Seitenvergleich:

a²-b²=5

2ab=12

System mit den Lösungen:

a=3,b=2

ganz oben einsetzen. Zweite Lösung: dasselbe negativ.

Comments

leider kann ich dein Lösungsweg nicht ganz nachvollziehen

wie kommt man auf a=3 und b=2

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Wenn ich das richtig verstehe,kannst du das System

(1) a²-b²=5

(2) 2ab=12

nicht lösen:

(2) 2ab=12 ergibt ab=6 und a=6/b.Dies in (1) eingesetzt:

(6/b)²-b²=5 oder 36/(b²)-b²=5

Substitution b²=z

36/z-z=5   |·z

36-z²=5z oder 0=z²+5z-36

pq-Formel z_1/2=5/2±13/2 also z₁=9,z₂=-4

Resubstitution b=±3 dann ist a=±2

In meiner Antwort leider vertauscht. Kamen daher deine Verständnisprobleme?

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