Wahrscheinlichkeiten: Aus 6 Ehepaaren werden 4 zufällig ausgewählt. Verschiedene Konstellationen

Question

Aufgabe:

Aus 6 Ehepaaren werden 4 Personen zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Situationen. Es wird/werden:

a) nur Männer,
b) mindestens 2 Männer,
c) 2 Ehepaare,
d) kein Ehepaar,
e) genau 1 Ehepaar

ausgewählt.

ich komme mal wieder nicht zu Rande.

Bei a) sind es \( \begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix} \) Möglichkeiten nur Männer auszuwählen und da der Grundraum |Ω| = \( \begin{pmatrix} 12\\4 \end{pmatrix} \) ist, ist die Wahrscheinlichkeit \( \frac{ \begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 12\\4 \end{pmatrix} } \). Das sollte stimmen, oder?

b) Hier bekomme ich die Anzahl der günstigen Ergebnisse |E| nicht raus. Ich dachte erst an \( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix} \), also (Auswahl der zwei Männer) * (Auswahl zweier beliebiger weiterer Personen der verbliebenen 10). Allerdings scheint das nicht zu stimmen.

Für c), d) und e) fehlen mir die Ansätze.

Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.

Beste Grüße!

Answer 1

Was sind "Ehepaare"? Bei der immer fortschreitenden Säkularisierung und dem Liberalismus unter dem Leitmotiv vom postmodernen Philosoph Paul Feyerabend -  "anything goes" - stellt sich die Frage, ob es überhaupt noch das Ehepaar gibt. Werden Regenbogenfamilien berücksichtigt?

Ok, Spaß beiseite. Let's go:

a)$$P=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}}$$ b) Hypergeometrische Verteilung:$$P(X≥2)=\sum_{k=2}^{4}{\frac{\begin{pmatrix}6 \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12-6  \\ 4-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}}}$$ Komm, die anderen schaffst du, schreib mir mal, was du denkst!

Comments

c)

Als erste Person kann irgendeine genommen werden

Als zweite Person dürfen alle, außer einer genommen werden.*

Als dritte Person dürfen alle Personen, außer zwei genommen werden.*

Als vierte Person dürfen alle Personen, außer drei genommen werden.*

* von den verbleibenden.

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Danke erstmal.
Es sind in der Tat frecherweise keine Regenbogenfamilien zugelassen. ;)

Nochmal zur b): Die Hypergeometrische Verteilung wurde in der Vorlesung noch nicht behandelt, scheint aber ohnehin "nur" eine kürzere Darstellung der Laplace-Wahrscheinlichkeiten zu sein?
Warum wähle ich als 2. Faktor zu jedem der Summanden eigentlich die genau dazugehörige Anzahl der Frauen und nicht, wie ich es versuchte einfach 2 beliebige Personen der jeweils verbleibenden 10 (bzw. 9. bzw. 8)?

Zu c)
Anzahl der günstigen Ereignisse: 12 * 10 * 8 * 6 ? Jetzt müsste aber noch permutiert werden, oder? Da bin ich mir dann immer nicht sicher, was eigentlich permutiert wird. Eigentlich ja jeweils die 12, 10, 8 und 6 Möglichkeiten. Oder?

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c)$$P=\frac{12}{12}\cdot \frac{11}{11}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{9}$$

Es können erst zufällig zwei Personen gewählt werden, die dann aber jeweils den richtigen Partner brauchen. Aber du hast recht, ich glaube auch, dass noch permutiert werden muss.

Tipp:

c)+d)+f) = 1

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Ich habe leider nicht so viel Zeit gerade, aber mein Tipp ist es, den Personen Namen zu geben und sie mal aufzuzeichnen (als Strichmännchen) - das vereinfacht es mir immer!