Komplexen Zahlen, Quadratwurzeln, Betrag etc. Zeigen Sie, dass x1= √(a+|w|)/(2) gilt.

Question

Hallo ich benötige einmal Hilfe

und zwar lautet die Aufgabe :

Es sei w= a+ ib ∈ ℂ mit b ≠0.  Es sei z= x1+iy1 die Quadratwurzel von w mit x1>0.

Zeigen sie, dass x1= √(a+/w/)/(2) gilt

UND

leiten sie eine Formel für y1 in Abhängigkeit von a, b und /w/ her.

ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen leider weiß ich nicht wie ich die Aufgabe lösen soll

ich bedank mich herzlich im voraus

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Komplexe Zahlen: i) zeigen, dass x1= √(a+/w/)/(2) gilt

Stichworte: komplexe,zahlen,betrag,wurzel,zeigen

Hallo ich komme leider bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen

a) Es sei w= a+i*b ∈ ℂ mit b≠0. Es sei z= x1+ i*y1 die Quadratwurzel von w mit x1 > 0

i) zeigen sie, dass x1= √(a+/w/)/(2)  gilt

/w/ SOLL BETRAG DARSTELLEN

Vielen  Dank im voraus ☺

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass x1=√(a+|w|)/2 gilt

Stichworte: primzahlen

Mein Ansatz war, dass ich|w|=√a²+b²

in die Formel einsetze.

Nun weiß ich nicht weiter

Danke

(Für ii wäre ich ebenfalls dankbar)

Answer 1

a) Es sei w= a+i*b ∈ ℂ mit b≠0. Es sei z= x1+ i*y1 die Quadratwurzel von w mit x1 > 0

√( a+i*b) = x₁+ i*y₁    |auf beiden Seiten quadrieren

a+i*b = (x₁+ i*y₁)²= x₁²-y₁²+2x₁y₁·i

Seitenvergleich

a= x₁²-y₁² und b=2x₁y₁

System nach x₁ und y₁ lösen.

Comments

Wie kann man ein system nach x und y händisch auflösen.

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(1) a= x²-y²

b=2xy oder (2) y=b/(3x)

(2) in  (1) einsetzen:

a= x²-(b/(3x))²=x²-b²/(9x²)

Substitution x²=z

a=z-b²/(9z)   |·z

az=z²-b²/9   |-az

0=z²-az-b²/9

Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z. Die löst man z.B.  mit der pq-Formel. Dann Resubstitution und Einsetzen von x in (2).

Answer 2

Es sei w= a+ ib ∈ ℂ mit b ≠0.  Es sei z= x1+iy1 die Quadratwurzel von w mit x1>0.

Dann gilt doch

(x1+iy1 )² = a+bi

x1² +2*x1y1*i -y1² = a+bi

==>  x1² - y1² = a    und   2x1*y1=b

 ==>   x1² = a + y1²  und   y1 = b/(2x1)

==>   x1² = a + b² / (4x1²)

==>   4x1⁴ = 4ax1² + b²  #

außerdem |w|=√(a²+b²), also  b² = |w|² - a²

Damit wird # zu 

<=>  4x1⁴ = 4ax1² + |w|² - a²

<=>  4x1⁴  -  4ax1²  + a²  =   |w|²

<=>  ( 2x1² - a ) ²  =   |w|²

<=>  2x1² - a = |w|  oder  2x1² - a = -|w|

<=>  x1²  =  ( |w| + a )/2 oder   x1²  =  ( a-|w| ) /2

wegen x1>0 also  x1 = √ ( ( |w| + a )/2 )

Comments

ich habe eine frage was soll dieser Symbol # darstellen

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und was wäre dann die Formel für y1 in Abhängigkeit von a, b und /w/

danke im voraus

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Einfach das Ergebnis von x1 bei   y1 = b/(2x1)

einsetzen .

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Achso also ist die Formel y1= b/(2x1) ?

:-)))

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Nee, dann hängt es ja auch von x1 ab.

Einsetzen ergibt

y1= b/(2x1) = b/ ( 2*(√(a+/w/)/2 ) =b/√(a+/w/) 

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Achso super danke für die Formel ;-))