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Aufgabe

Berechnen Sie Betrag und Phase von( \( \sqrt{3}-j) \)).VerwendenSiegeeignete
Multiplikationen, um( \( \sqrt{3}-j) \))um 30° gegen den Uhrzeigersinn bzw. um 90°im Uhrzeigersinn zu drehen

(Ergebnis in Normalform angeben).


Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll

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Hallo,

z= \( \sqrt{3} \) -j

|z|=√(3+1) = 2

tan α =Imaginärteil/Realteil

tan α = -1/\( \sqrt{3} \)

tan α  = -\( \sqrt{3} \) /3

α= (5 π)/6  + π (3.Quadrant)

α=( 11/6) π

z= 2 *e^( j11/6) π))

z=2 (cos(( 11/6) π)) + j (cos(( 11/6) π))

z=2( \( \sqrt{3} \)/2 - j (1/2)

z= \( (\sqrt{3} \) -j)

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Die Formeln müsstest du kennen:

\(z=x+yj \Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad \tan\varphi=\dfrac{y}{x}\)

Dabei musst du beachten, dass der Tangens sich bereits nach 180° wiederholt. Du musst deshalb gucken, in welchem Quadranten z sich befindet und eventuell 180° zu \(\varphi \) addieren.

Nun zu deinem Beispiel:

\(z=\sqrt 3 -j\), also \(x=\sqrt 3; y=-1 \Rightarrow x^2=3; y^2=1 \Rightarrow |z|=\sqrt{3+1}=4\)

Zum Phasenwinkel: z liegt im IV. Quadranten, da x positiv und y negativ ist, also \(270°<\varphi<360°\).

Wenn du den Taschenrechner benutzt, musst du wissen, dass deren Winkelausgabe zwischen -180° und +180° liegt, während bei uns der Winkel meistens von 0° bis 360° angegeben wird.

\(\tan\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \varphi_1=150°; \varphi_2=330°\)

Also: \(\varphi=330°=\frac{5}{6}\pi\)

Noch einmal zum Taschenrechner: Die Ausgabe lautet vermutlich -30°. Addiere 180° und du erhältst 150°, dann noch einmal +180° liefert das gesuchte Ergebnis.

Zu den Drehungen:

Am einfachsten ist die Drehung um 90°, da du nur mit \(j\) multiplizieren musst.

\(j\cdot z=j\cdot(\sqrt 3 -j)=1+\sqrt 3\cdot j\)

Die Drehung um 30° ist bei deiner Aufgabe besonders einfach, da 330°+30° = 360° ist. Wenn du den Zeiger von z also um 30° drehst, ergibt das die reelle Zahl 2.

Rechnerisch geht das so:

Ich nenne den Faktor, der die Drehung bewirkt \(d\).

\(d=\cos 30°+j\sin 30°=0,5\cdot\sqrt 3 +0,5\cdot j=0,5\cdot(\sqrt 3 +j)\)

\(d\cdot z= 0,5\cdot(\sqrt 3 +j)\cdot(\sqrt 3 -j)=0,5\cdot(3+1)=2\)

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wie kann \(\tan\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3} \ \) sein?

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Aloha :)

Da du das Ergebnis in Normalform angeben sollst, kannst du den Betrag \(\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2\) einfach ausklammern und bist fertig:$$z=\sqrt3-j=2\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}-j\,\frac{1}{2}\right)$$Der Cosinus des Winkels ist offensichtlich gleich \(\frac{\sqrt3}{2}\) und der Sinus des Winkels ist offensichtlich \(-\frac{1}{2}\). Daher beträgt die Phase \(-30^o\) bzw. \(330^o\).

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