Die Formeln müsstest du kennen:
\(z=x+yj \Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad \tan\varphi=\dfrac{y}{x}\)
Dabei musst du beachten, dass der Tangens sich bereits nach 180° wiederholt. Du musst deshalb gucken, in welchem Quadranten z sich befindet und eventuell 180° zu \(\varphi \) addieren.
Nun zu deinem Beispiel:
\(z=\sqrt 3 -j\), also \(x=\sqrt 3; y=-1 \Rightarrow x^2=3; y^2=1 \Rightarrow |z|=\sqrt{3+1}=4\)
Zum Phasenwinkel: z liegt im IV. Quadranten, da x positiv und y negativ ist, also \(270°<\varphi<360°\).
Wenn du den Taschenrechner benutzt, musst du wissen, dass deren Winkelausgabe zwischen -180° und +180° liegt, während bei uns der Winkel meistens von 0° bis 360° angegeben wird.
\(\tan\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \varphi_1=150°; \varphi_2=330°\)
Also: \(\varphi=330°=\frac{5}{6}\pi\)
Noch einmal zum Taschenrechner: Die Ausgabe lautet vermutlich -30°. Addiere 180° und du erhältst 150°, dann noch einmal +180° liefert das gesuchte Ergebnis.
Zu den Drehungen:
Am einfachsten ist die Drehung um 90°, da du nur mit \(j\) multiplizieren musst.
\(j\cdot z=j\cdot(\sqrt 3 -j)=1+\sqrt 3\cdot j\)
Die Drehung um 30° ist bei deiner Aufgabe besonders einfach, da 330°+30° = 360° ist. Wenn du den Zeiger von z also um 30° drehst, ergibt das die reelle Zahl 2.
Rechnerisch geht das so:
Ich nenne den Faktor, der die Drehung bewirkt \(d\).
\(d=\cos 30°+j\sin 30°=0,5\cdot\sqrt 3 +0,5\cdot j=0,5\cdot(\sqrt 3 +j)\)
\(d\cdot z= 0,5\cdot(\sqrt 3 +j)\cdot(\sqrt 3 -j)=0,5\cdot(3+1)=2\)
