Komplexe Zahlen: Wie ist die Lösungsmenge dieser Gleichung 3x^4-x^3+5x^2+18=2x^4+x^3-6x^2+18x ?

Question

Berechnen Sie die Lösungsmengen IL ⊂ C.

3x⁴-x³+5x²+18=2x⁴+x³-6x²+18x

und wie kann ich die Lösungsmenge berechnen?

Answer 1

3x^4-x^3+5x^2+18=2x^4+x^3-6x^2+18x |-2 x^4

x^4-x^3+5x^2+18=x^3-6x^2+18x | -x^3+6x^2-18x

x^4-2 x^3+11x^2-18x+18=0

(x^2+9)( x^2-2x+2)=0

->Satz vom Nullprodukt:

x^2+9=0

x_1.2=± 3i

->

x^2-2x+2=0

x_3.4=1 ± √(1-2)

x_3.4= 1 ± i

Answer 2

gelöscht

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Comments

Da kannst du aber lange raten. Eine reelle Nullstelle gibt es nicht. Es sind ausschließlich kompexe Lösungen.

Answer 3

Wenn du die Zerlegung

(x^2+9)( x^2-2x+2)=0

nicht raten kannst, dann kannst du auch

nach einem "Rezept" vorgehen, wie es bei

 http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf

beschrieben ist.

Das führt dann mit der angegebenen Substitution auf

y^4 + 19/2 * y^2 = 8y - 185/16

und mit der Idee von Ferrari berechnest du das z aus der Gleichung

8z^3 + 190z^2 + 2703z/2 + 23409/8 = 0

zu z=-17/4 oder z=-27/4 oder z=-51/4

und mit der ersten Lösung gibt das

(y^2 + 21/4)^2 = (y+4)^2   also

y^2 + 21/4 = y+4    oder   y^2+21/4 = -y - 4

und daraus bekommst du mit der pq-Formel

y=1/2 ±√-1          oder   y = -1/2 ±√-9

und wenn du die Substitution   y = x - 1/2 wieder

rückgängig machst die Lösungen für x

  ± 3 i   bzw  1± i   .