Zeigen Sie, dass eine injektive Abbildung f : A → B genau dann surjektiv ist, wenn |A| = |B| ist.

Question

normal mache ich das wirklich nicht gerne einfach die Fragen ohne eigenen Ansatz ins Forum zu posten, aber in diesem Fall komme ich einfach nicht weiter.

Steige bei dem Thema noch nicht so ganz durch. Kann mir dabei jmd. helfen?

Und was |A| = |B| genau übersetzt? Das die Menge des Definitionsbereichs = Bildbereich ist?

VG

Answer 1

Bin selbst kein Experte, aber |A| ist die Mächtigkeit der Menge, also die Anzahl der Elemente in A. Also bedeutet |A| = |B|, das A genauso viele Elemente wie B hat.

Jetzt haben wir ja die Funktion f, die Elemente aus A auf B abbildet. Diese FUnktion ist injektiv, also wird jedes a aus A auf maximal ein b aus B abgebildet. Wenn jetzt aber beide Mengen gleich viele Elemente haben, dann ist das ganze auch surjektiv, da jedes Element b aus B mindestens von einem a aus A getroffen wird.

Also Injektiv: Jedes Element aus A hat "sein eigenes Element" aus B, auf das es abbildet, es bilden nicht 2 Elemente aus A auf dasselbe Element in B ab.

Surjektiv: Auf jedes Element von B zeigt mindestens ein Element aus A.

Das musst du jetzt mathematisch zeigen, aber vielleicht hilft dir das ja schonmal

Comments

Diese FUnktion ist injektiv, also wird jedes a aus A auf maximal ein b aus B abgebildet.

Das ist so nicht korrekt. Das würde bedeuten, dass es Elemente in A geben kann, die auf kein Element in B abgebildet werden.

Richtige Definition für Injektivität hier wäre: Jedes Element in B wird höchstens von einem Element aus A getroffen, d.h. es können auch Elemente in B geben, die von keinem Element aus A getroffen werden.

Formal heißt es:

f ist injektiv, wenn gilt:

f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Korrigiert mich bitte, falls ich falsch liege.