Potenzieren. Wie bestimmt man diese komplexe Zahl? z = {√2 - i√2)^11

Question

Aufgabe:

$$ z = ( \sqrt { 2 } - \sqrt { 2 } \cdot \mathrm { i } ) ^ { 11 } $$

Wie löse ich diese komplexe Zahl mit Exponent und erhalte dadurch den Realteil/Imaginärteil und Betrag?

Answer 1

über führe in die Exponentialform, dann wird das potenzieren ganz einfach.

w=2*{1/sqrt(2) -1/sqrt(2) *i}

1/sqrt(2)=COS(phi)

---> phi = ± 45°

Damit -1/sqrt(2)=sin(phi) passt muss phi =-45° sein.

w=2*e^{i*45°}

w^11=2^11* e^{i45°*11}=2^11*e^{i*495°}

=2^11*e^{i*135°}

Jetzt noch zurückführen in kartesisch.

Comments

Wie genau funktioniert das umformen in die Kartesische Form ?

Danke

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=2^11*e^{i*135°}

=2^11 *(COS(135°)+isin(135°))

=2^11*(-1/√2 +1/√2 *i)

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Also wäre der Realteil -1448.15 und der Imaginärteil 1448.15

Demnach ist der Betrag 2048 oder?

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Yup, so stimmt es.

Answer 2

z = (√2 - i√2)^11

 = (√2 - i√2)* (√2 - i√2)* (√2 - i√2)* (√2 - i√2)*...* (√2 - i√2)

Beginne mal mit

u = (√2 - i√2)* (√2 - i√2)

und vereinfache das Resultat.

Dann kannst du weiter überlegen.

[spoiler]

Schlussendlich brauchst du

z=(... ( (((√2 - i√2)* (√2 - i√2))* (√2 - i√2))* (√2 - i√2))*...* (√2 - i√2))

Das kannst du mehr oder weniger Platz sparend ausrechnen.

Comments

Also muss ich so gesehen nur  (√2 - i√2)^2* (√2 - i√2)^2 *(√2 - i√2)^2* (√2 - i√2)^2* (√2 - i√2)^2* (√2 - i√2) berechnen ?

Ist das Ergebnis vlt 1448 für Re und 1448 für Im ?

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Ja, das kommt gerundet hin. Es fehlt aber ein Minus.

Answer 3

Wandle den Klammerinhalt in die trigonometrische Form um, nimm den Betrag hoch 11 und multipliziere das Argument mit 11.

Answer 4

(√2-i√2)²=-4i

(√2-i√2)⁴=-16

(√2-i√2)⁸=256

(√2-i√2)¹¹=-4i·256·(√2-i√2)