Komplexe Zahl z berechnen. z= (√8 *e^{3/4πj}+1)/(√2 *e^{π/4j}+j)

Question

Ich muss folgende Aufgabe rechnen: Z= (√8 *e^{3/4πj}+1)/(√2 *e^{π/4j}+j)

Ich habe als Ergebnis Re(z)= 1/3 für den Realteil und Im(z)= 4/3 für den Imaginärteil erhalten. Ich hoffe es ist richtig.

Liebe Grüße, Jana

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Hallo Jana,

etwas spät um deine nicht vorhandene Rechnung nachzuprüfen. Aber wolframalpha hat etwas anderes raus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%E2%88%9A8+*e%5E%283%2F4pi*I%29%2B1%29%2F%28%E2%88%9A2+*e%5E%28pi%2F4*I%29%2BI%29%2F%2FSimplify

Answer 1

Leider ist dein Ergebnis nicht korekt. Ich rechne es dir mal ausführlich vor:

$$Z=\frac { \sqrt { 8 } { e }^{ \frac { 3\pi  }{ 4 } j }+1 }{ \sqrt { 2 } { e }^{ \frac { \pi  }{ 4 } i }+j }$$Polarform in trigonometrische Form umschreiben:$$=\frac { \sqrt { 8 } (\cos { \frac { 3\pi  }{ 4 }  } +j*\sin { \frac { 3\pi  }{ 4 } )+1 }  }{ \sqrt { 2 } (\cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } +j*\sin { \frac { \pi  }{ 4 } )+j }  }$$Werte für cos und sin berechnen und einsetzen:$$=\frac { \sqrt { 8 } (-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +j*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } )+1 }{ \sqrt { 2 } (\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +j*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } )+j }$$Wurzelausdrücke ausklammern und zusammenfassen:$$=\frac { \frac { \sqrt { 8 }  }{ \sqrt { 2 }  } (-1+j)+1 }{ \frac { \sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 2 }  } (1+j)+j }$$$$=\frac { 2(-1+j)+1 }{ (1+j)+j }$$$$=\frac { -1+2j }{ 1+2j }$$Mit der konjugiert Komplexen des Nenners erweitern:$$=\frac { (-1+2j)(1-2j) }{ (1+2j)(1-2j) }$$Ausmultiplizieren und zusamenfassen.
Beachte: 2 j * ( - 2 j ) = - 4 j ² = ( - 4 ) * ( - 1 ) = 4 :$$=\frac { -1+4j+4 }{ 1+4 }$$$$=\frac { 3+4j }{ 5 }$$$$=\frac { 3 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } j$$Also:$$Re(Z)=\frac { 3 }{ 5 } ,Im(Z)=\frac { 4 }{ 5 }$$

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Danke für die ausführliche Antwort hat mir sehr geholfen :)