nehmen wir mal den Ausdruck $$\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(2 \alpha)}{x^2}$$ wenn Du hier für \(x\) den Wert \(0\) einsetzt, dann steht da \(0/0\) und es ist nicht definiert, was das ist. Jetzt kann man sich der Sache (also der \(0\)) nähern, wenn man für \(x\) kleine Werte einsetzt, die immer kleiner werden: $$\begin{array}{} x & \frac{1- \cos(2 \alpha)}{x^2}\\ \hline 0,1 & 1,9933 \\ 0,01 & 1,9999 \\ 0,001 & \approx 2\end{array}$$ Du siehst dass der Wert immer näher an die \(2\) läuft, umso kleiner das \(x\) wird. Diesen Wert, gegen den der Term fü \(x \to 0 \) läuft, nennt man den Grenzwert.
Untersuchen sie beispielsweise mithilfe eines graphischen Taschenrechners ...
Plotte die Funktion doch einfach: ~plot~ (1-cos(2x))/x^2 ~plot~ dort sieht man, dass der Funktionswert für \(x=0\) offensichtlich \(=2\) ist.
b) hier lautet die Funktion $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{|x-1|}$$ der Plot sieht so aus: ~plot~ (x^2-1)/abs(x-1) ~plot~ Hier scheint es bei \(x=1\) einen Sprung von \(-2\) nach \(+2\) zu geben. Wenn man sich den Term mal ohne Betragstriche ansieht, dann steht dort $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad \text{für} \space x \ne 1$$ Überlege Dir mal, was passiert, wenn Du Dich von rechts - also vom positivem Bereich - der \(1\) näherst \(x = 1,1; \space 1,01; \space 1,001 \dots\) oder von links \(x=0,9; \space 0,99\dots\). Hier scheint es zwei Grenzwerte zu geben - nämlich \(+2\) und \(-2\).
c) $$\lim_{x \to 0} \sin\left( \frac1x\right)$$ ~plot~ sin(1/x) ~plot~ da scheint es keinen Grenzwert zu geben. In der Nähe von \(0\) schwankt der Wert zwischen \(-1\) und \(+1\).
d) $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left( \frac1x\right)$$ ~plot~ x^2*sin(1/x) ~plot~ da sieht es wieder aus, als ob der Grenzwert bei 0 liegt. Das \(x^2\) vor dem Sinus zieht den Wert auf \(0\).
Gruß Werner
