Beweis, Eulersche Folge Steigend

Question

$$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\bigg(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)=\bigg(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)$$
$$=\bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)≥\bigg(1-\frac{n}{(n+1)^2}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)$$
$$≥^*\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)≥1$$

Und zwar verstehe ich den Schritt

$$\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2} $$
nicht. Ich sehe nicht, woher die Umformung kommt. Kann mir das jemand zeigen bitte?

Danke

Answer 1

n(n+2)=n²+2n kann durch Addition und Subtraktion von 1 auch als

n²+2n +1 -1 geschrieben werden, wobei man n²+2n+1 nach bin. Formel als (n+1)² schreiben kann.

Insgesamt ergibt sich n(n+2)=n²+2n = n²+2n+1-1=(n+1)²-1.

Der Bruch lautet somit $$\frac{(n+1)²-1}{(n+1)²}$$ und kann zerlegt werden in

$$\frac{(n+1)²}{(n+1)²}-\frac{1}{(n+1)²}$$.

Der vordere Bruch wird zu 1 gekürzt.