Grenzwerte von Funktionen: lim 1-cosh(x)/(1-cos(x)) für x->0

Question

Berechnen Sie

lim                1-cosh(x)/(1-cos(x))

x->0

Zu aller erst habe ich den Ausdruck umgeschrieben

lim             1-1/2*(e^x+e^-x)/(1-cos(x))

x->0

Dann habe ich eingesetzt.

= 1-0.5-0.5/ 1-1

= 0/0

=> Regel von L'Hospital anwenden

D.h. Zähler und Nenner getrennt voneinander differenzieren

=1-1/2*(e^x+e^-x)/(1-cos(x))

=-1/2*(e^x+e^{-x})*e^x*e^{-x})/ sin (x)

=(-e^x+e^-x/2) / sin (x)

= 0/0

??

Der Grenzwert ist unendlich? Muss ich auch noch den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert berechnen?

Answer 1

Du hast den Ausdruck 0/0

Wende 2 Mal die Regel von L'Hospital an.

= lim( x->0) (-sinh(x)/sin(x))       --->0/0

= lim( x->0) (-cosh(x)/cos(x))      --- >-1/1 = -1

Comments

Müsste man hier auch auf den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen? Aus der Aufgabenstellung geht dies nämlich nicht hervor.

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Könntest Du mir noch eventuell diese Frage beantworten? :D

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nein , das brauchst Du nicht.

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Und warum?....