injektive Abbildung f : A → B genau dann surjektiv , wenn |A| = |B| ist.

Question

könnte mir jmd. dabei helfen, wie ich das Formal beweise?

Answer 1

Ist das die Analysis-Aufgabe 2.2 von der Goethe-Uni? Dann fehlt nämlich noch der wichtige Hinweis, dass die Mengen A,B endlich sind.

Also, wir zeigen <=> einmal in ->  Richtung und einmal in <- Richtung.

-> Richtung: Die Fkt. f A-> ist injektiv, d.h. jedes A trifft auf mind. ein B. Wenn beide Mengen gleich mächtig sind, d.h. gleich viel Elemente haben, dann ist f auch surjektiv, da jedes Element b aus B mind. von einem A getroffen wird. Denn in A und B sind gleich viel Elemente. Und da JEDES Element aus B von einem A getroffen wird, und umgekehrt die Injektivität impliziert, dass jedes A mind. ein B trifft, und A und B gleich viel Elemente haben, also nichts doppelt getroffen wird, ist der ganze Spaß auch noch Bijektiv.

<- Richtung:  Alle Mengen, die gleichmächtig sind, sind Bijektiv

Comments

Wie wurde man das formal korrekt aufschreiben?

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Die Fkt. f A-> ist injektiv, d.h. jedes A trifft auf mind. ein B.

Wie kommst du auf diese Definition von Injektivität?

Du meinst eher: Jedes Element aus A trifft auf genau ein Element in B. Das ist aber generell bei Funktionen so!

Richtige Definition für Injektivität hier wäre: Jedes Element in B wird höchstens von einem Element aus A getroffen, d.h. es können auch Elemente in B geben, die von keinem Element aus A getroffen werden.

Formal heißt es:

f ist injektiv, wenn gilt:

f(x1) = f(x2) => x1 = x2