Hilfe bei Ansatz/mathematischem Ausdruck einer ganzrationalen Funktion

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion f(x) vom Grad 3, deren Graph folgende Eigenschaften hat:
Es liegt eine Symmetrie zum Ursprung (Nullpunkt) vor; die Steigung im Punkt P(1|1) des Graphen beträgt -1

Nun habe ich
f(1)=1
f(-1)=-1
m -1 bei x1 -> f'(1)=-1
f'(-1)=1

Ich denke dass das, was ich da raus "gelesen" habe nicht richtig ist. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Ganzrationale Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist

hat nur x-Potenzen mit UNGERADEM Exponenten. Beim 3. Grad bleibt als

Ansatz also  f(x) = ax³ + bx

Die Summenden mit x² und x⁰ entfallen.

Comments

Und warum ist a+b=1 und nicht -1 ?

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Du hast also aufgrund der Punktsymmetrie nur noch folgende koeffizienten in der Funktion übrig

y=a*x³+b*x

Ein Punkt der gegeben ist, lautet (1/1). Diesen setzen wir nun in die Funktion ein.

1=a*1³+b*1=a+b

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Ah!! Alles klar. Vielen Dank, ich bin sehr dankbar!

Habe zwar nun noch nicht verstanden , warum ich bei einer Punktsymmetrie dritten Grades nur ungerade Exponenten habe (also woher ich das nehmen kann, die Logik dahinter habe ich noch nicht erfasst) aber die Vorgehensweise kann ich soweit nachvollziehen.

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Also abgesehen davon dass das eine Regel ist die man sich einfach merken sollte, hat es folgenden Grund. Damit eine Funktion punktsymmetrisch ist, muss zu einem positiven x Wert ein positiver y Wert gehören und zu einem negativen x Wert muss ein negativer y Wert gehören. Also

2³=8

(-2)³=-8

Bei geraden exponenten werden positiven x werten positive y werte zugeordnet und negativen x werten werden auch positive y werte zugeordnet:

2²=4

(-2)²=4

Die Punktsymmetrie geht also bei geraden exponenten verloren, deswegen können keine geraden exponenten vorkommen.

Answer 2

f(x) = ax³+bx+c

f '(x)= 3ax²+b

f(0)=0  --> c=0

Du brauchst nur 2 Gleichungen.

1= a+b --> b= 1-a

-1= 3a+b

--> -1= 3a+1-a

-2= 2a

a= -1

b= 2

Comments

Wie kommst du auf ax³+bx+c? Ich dachte Funktionen 3ten Grades müssen immer mit f(x)=ax³+bx²+cx+b gelöst werden...

Den Rest kann ich nachvollziehen.

Danke für die Hilfe auf jeden Fall schonmal!

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Ach und was bringt mir die Aussage in der Aufgabenstellung, dass die Funktion punktsymmetrisch ist?

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Und ups, ich habe mich bei der ersten Funktion (erster Kommentar) verschrieben,  als letztes natürlich +d statt b also f(x) = ax³+bx²+cx+d

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@Gast2016 kannst du mir mit einer Antwort nochmal helfen? Lg