Geometrische Deutung des Mittelwertsatzes der Integralrechung

Question

Ich behandele momentan mich mit dem Mittelwelwerssatz der Intgeralrechung.

Ich verstehe eine Sache nicht es wird gesagt, das zur einer Funktion f im Intervall [a;b] der mittelwertsatz verwendet werden kann. Aber diesem Intervall gibt es immer ein f(x0) entspricht ja der höhe des Rechtecks und somit ist das der Mittelwert. Worauf ich hinaus möchte ist, wenn es ein f(x0) gibt muss es ja auch eine Stelle dazu geben, in manchen Foto sieht man es...

Aber woher oder wie bestimmt man diesen x0??

mit ist noch nicht ganz diese Geometirsche Deutung klar?

Für schnelle Antworten würde ich mich sehr freuen...

Answer 1

Hallo cool2000,

Du kennst vielleicht einen von den Witzen, die man über Mathematiker macht:

Frage: wie bricht ein Mathematiker aus dem Gefängnis aus? Antwort: Er definiert einfach drinnen als draußen.

So ähnlich ist das hier auch. Du fragst:

Aber woher oder wie bestimmt man diesen x0?

Antwort: gar nicht, weil es im Allgemeinen nicht von Interesse ist. Hier - so wie bei vielen anderen Fragen der Mathematik - ist nur von Bedeutung, dass dieser Funktionswert \(f(x_0)\) existiert. Und genau das sagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung aus.

Solltest Du tatsächlich an dem Wert interessiert sein, so musst Du die Umkehrfunktion bilden: $$y_0 = f(x_0) \quad \implies x_0 = f^{-1}(y_0)$$ Und natürlich vorher noch das Integral \(\int_a^b f(x) \, \text{d}x = y_0 \cdot (b-a)\) berechnen. Das ist bei linearen Funktionen noch kein Problem, aber bereits bei Polynomen vom Grad \(\gt2\) wird es mit der Umkehrfunktion schwierig. Darüber sagt obiger Satz aber nichts aus!

Gruß Werner

Comments

Also ist die Stelle egal, nur der Funktionswert ist relevant.

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... genauer: nur die Existenz des Paares \((x_0;f(x_0))\) ist relevant

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Alles klar danke und wenn ich es darstelle bzw. Ausrechne ist nur f(x0) relevant. Ich habe dazu eine Pl zu machen, was kann ich sagen, wenn einer Fragt warum steht da ein x0 oder bestimmt man es

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Ich habe dazu eine Pl zu machen, was kann ich sagen, wenn einer Fragt warum steht da ein x0 oder bestimmt man es

Ich weiß nicht was eine 'PI' ist und der Rest ist kein grammatikalisch korrekter Satz - bzw. ich verstehe die Frage nicht.

Falls jemand nach der Berechnung von \(x_0\) fragt, so kannst Du ihm genau wie ich antworten, dass $$x_0 = f^{-1}\left( \frac{\int_a^b f(x) \, \text{d}x }{b-a} \right)$$ ist. Bereite ein Beispiel vor: \(f(x)=\frac12 x + 2\) in den Grenzen \([1;5]\) $$\int_{a=1}^{b=5} \frac12x + 2 \, \text{d}x = \left.\frac14 x^2 + 2x \right|_1^5 = 14$$ folglich muss es einen Wert $$f(x_0) = \frac{14}{b-a} = \frac{14}{4} = \frac72$$ im Intervall \([1;5]\) geben. Die Umkehrfunktion ist $$f^{-1} = 2y-4$$ folglich ist $$x_0= f^{-1}(f(x_0)) = f^{-1}(\frac72) = 2 \cdot \frac72 - 4 = 3$$ der Plot zeigt, dass das Ergebnis korrekt ist ~plot~ x/2+2;x=1;x=5;{3|7/2};[[-4|8|-1|6]] ~plot~

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entschuldigung für meine unschlüssige Frage, mit Pl ist eine Präsenation gemeint.

Answer 2

Aber woher oder wie bestimmt man diesen x0??

Indem man die Gleichung 1/(b-a) ∫_a..b f(x) dx = f(x) lößt.

mit ist noch nicht ganz diese Geometirsche Deutung klar?

Zuflussrate in einen Stausee abhängig von der Zeit t (a < t < b) sei f(t).

Wenn die Zuflussrate stattdessen konstant 1/(b-a) ∫_a..b f(t) beträgt, dann ist zum Zeitpunkt b genau so viel Wasser im Stausee.