Rekursive Folge per Induktion beweisen

Question

Wir definieren eine Folge (an)n∈N rekursiv durch

a1:= √2

an+1:=√(2+ an)

(i) Beweisen Sie per Induktion:
Für alle  n ∈ N ist an < 2
(ii) Leiten Sie aus (i) ab:
Die Folge (an)n∈N ist streng monoton wachsend.
(iii) Beweisen Sie: lim(n→∞)    an = 2

Hätte jemand Lösungsvorschläge komme nicht weiter wäre sehr nett !

Answer 1

Hallo

i)1. a₁<2

2. a_n<2 => a__n+1=√(2+a_n)<√(2+2)=2

ii a_n+1/a_n>1 aus 2

iii. a_n+1=a_n=g für n->oo also  g=√( 2+g) daraus g^2=2+g, g=2

Gruß lul