Kommutative Gruppe - Untergruppe

Question

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten: Sei (G,•) eine kommutative Gruppe. zeigen Sie, dass die Menge {a² = a*a | a ∈ G} "der Quadrate" in G eine Untergruppe von G ist. 

Nun muss ich folgendes zeigen: 
1. Es existiert ein neutrales Element e ∈ G, dasselbe wie aus der "Obergruppe". 
2. Ist a ∈ G, so existiert auch das Inverse in der Untergruppe, das heißt a^-1. 
3. a,b ∈ Untergruppe => a • b  ∈ Untergruppe (Abgeschlossenheit).

Nun dachte ich an folgendes: 
1. Das neutrale Element ist 1, da a² * 1 = a² gilt und 1 das neutrale Element der "Obergruppe" ist. 
2. Das Inverse Element ist 1/a (oder muss das hier 1/a² sein?, da wir die Menge der Quadrate betrachten?) Falls es 1/a2 ist, so ist es ein anderes als in der "Obergruppe" (dort ist es ja 1/a). 
3. Wie zeige ich die Abgeschlossenheit? 

Vielen Dank vorab für eure Unterstützung!

Answer 1

Ich nenne die Untergruppe mal \(U\), also \(U=\left\lbrace a^2 \middle| a\in G\right\rbrace\).

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Deine Überlegung zu 1. passt nicht ganz. Warum sollte aus \(a^2\cdot 1=a^2\) folgen, dass \(1\in U\) ist?

Stattdessen: Wenn \(1\in G\) das neutrale Element bezeichnet, so ist \(1=1\cdot1=1^2\in U\).

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Zu 2.: Betrachte ein beliebiges Element \(g\in U\). Du musst nun zeigen, dass auch \(g^{-1}\in U\) ist.

Wegen \(g\in U\) gibt es ein \(a\in G\) mit \(g = a^2\). Dann ist \(g^{-1}=(a^2)^{-1}=(a\cdot a)^{-1}=a^{-1}\cdot a^{-1}=(a^{-1})^2\in U\), da zu \(a\in G\) auch \(a^{-1}\in G\) ist.

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Zu 3.:

Betrachte beliebige Elemente \(g_1, g_2\in U\). Du musst nun zeigen, dass auch \(g_1\cdot g_2\in U\) ist. [D.h. du muss ein Element \(a\in G\) finden können, so dass \(g_1\cdot g_2=a^2\) ist.]

[Wegen \(g_1, g_2\in U\) gibt es \(a_1, a_2\in G\) mit \(g_1=a_1^2\) und \(g_2=a_2^2\).]

Versuche noch selbst den Rest der Abgeschlossenheit.