Die Idee ist, zusätzlich den Erwartungswert und die Standardabweichung in ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen einfileßen zu lassen und dieses Gleichungssystem zu lösen.
35% einer Bevölkerung haben die Blutgruppe 0.
Erwartungswert für die Anzahl der Personen mit Blutgruppe 0 aus einer Grundgesamtheit der Größe n ist
(1) μ = 0,35n
laut Binomialverteilung.
Standardabweichung der Anzahl der Personen mit Blutgruppe 0 aus einer Grundgesamtheit der Größe n ist
(2) σ = √(n·0,35·(1-0,35)) = √n·(√91)/100
laut Binomialverteilung.
mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 10 Personen Blutgruppe 0 haben?
X sei die Anzahl der Personen, die aus einer Grundgesamtheit von n Personen die Blutgruppe 0 haben.
Laut Aufgabenstellung soll P(X≥10) ≥ 0,9 sein.
Das lässt sich umformen zu 1 - P(X<10) ≥ 0,9 und weiter zu
P(X<10) ≤ 0,1
also
P(X≤9) ≤ 0,1.
In einfachen Fällen (zum Beispiel P(X≤9) ≤ 0,05) kann man jetzt mittels σ-Regeln einen Term für P(X≤9) aufstellen. Im Beispiel wäre das die σ-Regel
P(μ-1,64σ ≤ X ≤ μ+1,64σ) = 0,9,
welche wegen Symmetrie um den Erwartungswert zu
P(X ≤ μ-1,64σ) = (1 - 0,9)/2 = 0,05
umgeformt werden kann, was dann zu
μ-1,64σ = 9
führen würde. Leider ist das im vorliegenden Fall nicht so einfach, weil es halt für P(X ≤ a) = 0,1 keine passende σ-Regel gibt. Da hilft dann die Normalapproximation
P(X ≤ x) ≈ Φ((x+0,5-μ)/σ).
Es ist Φ((x+0,5-μ)/σ) ≤ 0,1 wenn
(x+0,5-μ)/σ ≤ -1.2815515655446
ist. Einsetzen von x = 9 und Umformung in eine Gleichung liefert
(3) (9,5-μ)/σ = -1.2815515655446.
Löse das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (1), (2) und (3).
Durch eine Probe kann man nun entscheiden, ob man aufgrunden muss oder abrunden darf.
