Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen f und der Tangente t im Intervall [-5; 1]

Question

Ein physikalischer Vorgang lässt sich durch folgende Funktion beschreiben:

f(x) = (ax + b)e^{x-1} + c

Sowohl der Graph f dieser Funktion, als auch die Tangente t beim Punkt A(1|5) sind dargestellt:

1. Bestimme die Funktion f(x).

2. Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen f und der Tangente t im Intervall [-5; 1].

Answer 1

Hallo Moin57,

Die Funktion lautet $$f(x)=(ax+b)e^{x-1} + c$$ und was wir von der Funktion wissen ist:

- sie geht durch den Punkt \((1|5) \implies f(1)=5\)

- Im Punkt \((1|5)\) hat sie eine Steigung von 3 \(\implies f'(1)=3\) (aus der Zeichnung abgelesen)

- bei \(x=-0,5\) hat die Funktion ein lokales Minimum \(\implies f'(-0,5)=0\)

Die Ableitung ist $$f'(x)= (ax + a + b)e^{x-1}$$ $$\begin{aligned} f(1)&=5 = a +b + c \\ f'(1) &= 3 = 2a + b \\ f'(-0,5) &= 0 = (\frac12 a + b) e^{-1,5} \end{aligned}$$ Aus der mittleren Gleichung folgt \(b = 3-2a\). Einsetzen in die dritte Gleichung gibt \(a=2\), daraus folgt wiederum \(b=-1\) und \(c=4\). der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist ~plot~ (2x-1)*exp(x-1)+4;3x+2;[[-4|4|-1|8]];{-1/2|3.554};{1|5} ~plot~ Falls etwas unklar sein sollte, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

... aber noch Hilfe für die Aufgabe b,

Oh - hatte ich ganz vergessen.

Diese Ausdrücke \(f(x) \cdot e^x\) zu integrieren ist etwas tricky. Du siehst ja, dass bei der Ableitung ein \(a\) hinzugekommen ist. Probieren wir also mal ein \(a=2\) weniger - also

$$g(x)= (2x-3)e^{x-1} \\ \implies g'(x)= (2+2x-3)e^{x-1} = (2x-1)e^{x-1}$$ das passt, also ist $$\int (2x-1)e^{x-1} + 4 \,\text{d}x = (2x-3)e^{x-1} + 4x + C$$ Einsetzen der Grenzen von \([-5;1]\) gibt dann die Fläche \(F\) $$\begin{aligned} F &= \left.(2x-3)e^{x-1} + 4x\right|_{-5}^1 \\ &= 23 + 13 e^{-6} \approx 23,032 \end{aligned}$$