0 Daumen
779 Aufrufe

$$ Q\left( A\left( X\right) \right) =Q\left( Bild\left( A\right) \right) = N \times \mathbb { R } ^ { k } \; \ \text{mit} \;  \mu^{*}(N \times \mathbb { R } ^ { k }) = 0$$

Existiert so eine orthogonale Matrix Q für eine beliebige Menge X (det(A) = 0, N Nullmenge)? Falls ja wieso?



Die Aufgabe ist

\begin{array} { c } { \text { Für beliebiges } A \in \mathbb { R } ^ { d \times d } \text { und } X \subset \mathbb { R } ^ { d } \text { gilt } } \\ { \mu ^ { * } ( A ( X ) ) = | \operatorname { det } ( A ) | \cdot \mu ^ { * } ( X ) } \end{array}

Ich habe die Gleichung für Invertierbare Matrizen (det(A) ungleich 0)

$$\mu ^ { * } ( A ( X ) ) = | \operatorname { det } ( A ) | \cdot \mu ^ { * } ( X ) \; \; \; (1)$$

gezeigt.

Ich will jetzt diese Aussage für det(A) = 0 zeigen.

Mit dem was ich oben gezeigt habe und der Aussage will ich es zeigen

$$\text { Ist } N \subset \mathbb { R } ^ { d } \text { eine Nullmenge, so ist } N \times \mathbb { R } ^ { k } \text { für alle } k \in \mathbb { N } \text { eine Nullmenge in } \mathbb { R } ^ { d + k }$$

Ein Tipp habe ich bekommen dass es ein Q als orthogonal Matrix ex mit

$$ Q\left( A\left( X\right) \right) =Q\left( Bild\left( A\right) \right) = N \times \mathbb { R } ^ { k } \; \ \text{mit} \;  \mu^{*}(N \times \mathbb { R } ^ { k }) = 0$$

$$\mu ^{\ast }\left( Bild\left( A\right) \right) =\mu ^{\ast }\left( Q^{-1}\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right) \right) \overset{(1)}{=} \left| \det \left( Q^{-1}\right) \right| \cdot \mu ^{\ast }\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right)=\mu ^{\ast }\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right) = 0   $$

Jetzt zu meiner Frage Wieso ex so eine orthogonal Matrix für eine beliebige Menge X?

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community