Antwort mit KI erzeugt
Zeigen Sie für das Lebesgue-Maß \(L^1\) auf \(X=[0,1]\) und \(f(x) = \log(\frac{1}{x})\), dass \(f \in L^p(L^1)\) für alle \(1 \leq p < \infty\).
Um zu zeigen, dass \(f(x) = \log(\frac{1}{x})\) in \(L^p(L^1)\) für \(X=[0,1]\) und für alle \(1 \leq p < \infty\) liegt, müssen wir überprüfen, ob das Integral
\(
\int_{0}^{1} |\log(\frac{1}{x})|^p dx
\)
konvergiert.
Im Detail bedeutet dies, dass wir das Integral
\(
\int_{0}^{1} \left|\log\left(\frac{1}{x}\right)\right|^p dx = \int_{0}^{1} \left(\log\left(\frac{1}{x}\right)\right)^p dx
\)
auswerten müssen, da \(\log\left(\frac{1}{x}\right)\) für \(x \in (0, 1]\) stets positiv ist, und deshalb der Betrag weggelassen werden kann.
Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir die Substitution \(u = \log(\frac{1}{x})\), also \(x = e^{-u}\). Daraus ergibt sich \(dx = -e^{-u} du\).
Das Integral wird somit umgewandelt in
\(
\int_{\infty}^{0} (-1) \cdot e^{-u} \cdot u^p (-e^{-u} du) = \int_{0}^{\infty} u^p e^{-2u} du.
\)
Dies können wir als das Gamma-Integral für einen bestimmten Wert von \(p\) und \(a\) erkennen, wobei die allgemeine Form \(\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx\) ist, und mit \(n= p+1\) und der Tatsache, dass \(e^{-2u} = (e^{-u})^2\), entsprechend angepasst werden muss.
Um es als ein Gamma-Integral zu schreiben, erkennen wir, dass die Form etwas anders ist. Das Standard-Gamma-Integral ist \(\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx\), aber wir können das Integral \(\int_{0}^{\infty} u^p e^{-2u} du\) umformen und anpassen, um die Struktur anzugleichen. Jedoch ist für die grundsätzliche Überlegung relevant, ob das Integral konvergiert und nicht unbedingt seine exakte Form.
Wichtig ist, das Integral konvergiert für alle \(p > 0\), da
- \(u^p\) polynomielle Wachstumsrate hat,
- \(e^{-2u}\) exponentiell abnimmt, was die Konvergenz des Integrals für große \(u\) sichert.
Folglich können wir Folgern, dass \(f(x) = \log\left(\frac{1}{x}\right)\) für alle \(1 \leq p < \infty\) in \(L^p([0, 1], L^1)\) liegt, weil das Integral für diese \(p\) konvergiert.
