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Erklärung:
Um zu zeigen, dass das n-dimensionale Lebesgue-Maß \(L^n(A)\) aller Teilmengen \(A\) von \(X\) gleich 0 ist, wo \(X\) ein \(n-1\) dimensionaler Unterraum von \(\mathbb{R}^n\) ist, nutzen wir die geometrische Intuition und Eigenschaften des Lebesgue-Maßes.
Grundlagen:
Das Lebesgue-Maß \(L^n\) im \(\mathbb{R}^n\) ist eine Fortsetzung des Konzeptes des "Volumens" auf sehr allgemeine Mengen. Für \(n=1\) ist es die Länge, für \(n=2\) die Fläche, für \(n=3\) das Volumen, und so weiter. Einem \(n-1\) dimensionalen Unterraum im \(\mathbb{R}^n\) fehlt eine Dimension, um "voll" den Raum zu füllen. Zum Beispiel ist eine Gerade in \(\mathbb{R}^2\) (1D in 2D), oder eine Ebene in \(\mathbb{R}^3\) (2D in 3D), nicht "dick" genug, um eine messbare Fläche im \(\mathbb{R}^2\) oder ein Volumen im \(\mathbb{R}^3\) zu haben.
Beweisführung:
Zum Beweisen dieser Eigenschaft betrachten wir die Eigenschaften des Lebesgue-Maßes:
1.
Translationsinvarianz: Das Lebesgue-Maß ändert sich nicht bei Verschiebungen. \(L^n(A+x) = L^n(A)\) für alle \(x\) in \(\mathbb{R}^n\).
2.
Skalierbarkeit: Bei Skalierung der Mengen ändert das Lebesgue-Maß proportional zur Skalierung. Speziell: \(L^n(\lambda A) = \lambda^n L^n(A)\) für jede positive reelle Zahl \(\lambda\).
3.
Maßeigenschaft: \(L^n(A) \ge 0\) für jede Menge \(A\) und \(L^n(\emptyset) = 0\).
Da \(X\) ein \(n-1\)-dimensionaler Unterraum ist, können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit sagen, dass \(X\) in einer Ebene durch den Ursprung mit einer Dimension weniger als der umgebende Raum liegt. Das "Volumen" (im Sinne des Lebesgue-Maßes im \(\mathbb{R}^n\)) von \(X\) und somit jeder Teilmenge \(A \subset X\) ist notwendigerweise 0, weil es keine "Dicke" in der fehlenden Dimension gibt. Es fehlt eine Ausdehnung in eine Richtung, um ein messbares "Volumen" im Sinne von \(L^n\) zu haben.
Mathematisch gesehen, wenn wir versuchen, das \(n\)-dimensionale Maß eines \(n-1\)-dimensionalen Objekts zu messen, ist das Ergebnis 0, weil das Objekt in einer der \(n\) Dimensionen eine Ausdehnung von 0 hat. Jede \(n-1\)-dimensionale Form in \(\mathbb{R}^n\) kann als der Grenzwert einer Folge von \(n\)-dimensionalen Objekten angesehen werden, deren Ausdehnung in einer Dimension gegen 0 geht. Da das Lebesgue-Maß stetig ist, nähert sich das Maß dieser Folge dem Wert 0 an.
Fazit:
Somit haben wir gezeigt, dass für einen \(n-1\) dimensionalen Unterraum \(X\) von \(\mathbb{R}^n\) das n-dimensionale Lebesgue-Maß \(L^n(A) = 0\) ist für alle \(A \subset X\), weil \(X\) in einer der n Dimensionen keine "Dicke" hat und somit kein "Volumen" in \(\mathbb{R}^n\) ausfüllen kann.
