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a) Eine Menge \(A \subset \mathbb{R}^n\) ist genau dann Lebesgue-messbar, falls es eine \(G_{\delta}\)-Menge \(B\) und eine Nullmenge \(N\) gibt, so dass \(A = B \setminus N.\)
Schritt 1: \(A\) Lebesgue-messbar ⇒ \(A = B \setminus N\) mit \(B\) eine \(G_{\delta}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge
Wenn \(A\) Lebesgue-messbar ist, dann können wir für jedes \(k \in \mathbb{N}\) eine offene Menge \(O_k\) finden, die \(A\) enthält und für die gilt, dass das Lebesgue-Maß der Differenz \(O_k\setminus A\) kleiner als \(\frac{1}{k}\) ist. Das bedeutet, dass \(O_k\setminus A\) für jedes \(k\) eine Nullmenge ist, wenn \(k\) gegen unendlich geht. Setze \(B = \bigcap_{k=1}^{\infty} O_k\). \(B\) ist als Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen eine \(G_{\delta}\)-Menge und enthält \(A\).
Für die Menge \(N = B\setminus A\) (diese Menge ist die Differenz von \(B\) und \(A\)), kann man zeigen, dass \(N\) eine Nullmenge ist, weil \(N \subset O_k\setminus A\) für jedes \(k\), und da das Maß von \(O_k\setminus A\) kleiner als \(\frac{1}{k}\) ist und für \(k\) gegen unendlich geht, folgt, dass das Maß von \(N\) Null sein muss.
Schritt 2: \(A = B \setminus N\) mit \(B\) eine \(G_{\delta}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge ⇒ \(A\) Lebesgue-messbar
Sei \(A = B \setminus N\), wobei \(B\) eine \(G_{\delta}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge ist. Da \(G_{\delta}\)-Mengen Borel-messbar sind und Nullmengen Lebesgue-messbar sind, ist auch jede Kombination aus diesen (in Form von Differenzmengen) Lebesgue-messbar. Insbesondere ist eine Menge, die als Differenz einer Borel-messbaren Menge und einer Nullmenge dargestellt werden kann, wieder Lebesgue-messbar.
b) Eine Menge \(A \subset \mathbb{R}^n\) ist genau dann Lebesgue-messbar, falls es eine \(F_{\sigma}\)-Menge \(C\) und eine Nullmenge \(N\) gibt, so dass \(A = C \cup N.\)
Schritt 1: \(A\) Lebesgue-messbar ⇒ \(A = C \cup N\) mit \(C\) eine \(F_{\sigma}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge
Ist \(A\) Lebesgue-messbar, so kann für jedes \(k \in \mathbb{N}\) eine abgeschlossene Menge \(F_k\) gefunden werden, die in \(A\) enthalten ist, so dass das Maß von \(A\setminus F_k\) kleiner als \(\frac{1}{k}\) ist. Setzen wir \(C = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\), so ist \(C\) eine \(F_{\sigma}\)-Menge, da sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ist.
Betrachten wir \(N = A\setminus C\), so finden wir, dass \(N\) ebenfalls eine Nullmenge ist, da \(N \subset A\setminus F_k\) für jedes \(k\), und da das Maß von \(A\setminus F_k\) kleiner als \(\frac{1}{k}\) und für \(k\) gegen unendlich geht, folgt, dass das Maß von \(N\) Null ist.
Schritt 2: \(A = C \cup N\) mit \(C\) eine \(F_{\sigma}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge ⇒ \(A\) Lebesgue-messbar
Ist \(A = C \cup N\), wobei \(C\) eine \(F_{\sigma}\)-Menge und \(N\) eine Nullmenge ist, so ergibt sich, dass \(A\) Lebesgue-messbar ist, weil die Vereinigung einer Borel-messbaren Menge (eine \(F_{\sigma}\)-Menge ist insbesondere Borel-messbar) und einer Lebesgue-messbaren Menge (jede Nullmenge ist Lebesgue-messbar) stets Lebesgue-messbar ist.
