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Verknüpfung von B-messbarer und L-messbarer Funktion ist L-messbar
Um zu zeigen, dass die Verknüpfung \(f \circ g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), wobei \(g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) Lebesgue-messbar und \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) Borel-messbar ist, Lebesgue-messbar ist, gehen wir wie folgt vor:
1.
Definitionen:
- Eine Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ist Borel-messbar, wenn für jede offene Menge \(U \subset \mathbb{R}\) das Urbild \(f^{-1}(U)\) eine Borelmenge in \(\mathbb{R}\) ist.
- Eine Funktion \(g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) ist Lebesgue-messbar, wenn für jede Lebesgue-messbare Menge \(A \subset \mathbb{R}\) das Urbild \(g^{-1}(A)\) Lebesgue-messbar in \(\mathbb{R}^n\) ist.
2.
Strategie: Um zu beweisen, dass \(f \circ g\) Lebesgue-messbar ist, müssen wir zeigen, dass für jede Lebesgue-messbare Menge \(A \subset \mathbb{R}\) das Urbild \((f \circ g)^{-1}(A)\) Lebesgue-messbar in \(\mathbb{R}^n\) ist.
3.
Schritt-für-Schritt Beweis:
- Wir nehmen eine beliebige Lebesgue-messbare Menge \(A \subset \mathbb{R}\).
- Als nächstes müssen wir das Urbild \((f \circ g)^{-1}(A)\) betrachten. Für die Verkettung gilt: \((f \circ g)^{-1}(A) = g^{-1}(f^{-1}(A))\).
- Da \(f\) Borel-messbar ist, wissen wir, dass \(f^{-1}(A)\) eine Borelmenge ist, da dies für alle Mengen der Borelschen σ-Algebra gilt, einschließlich Lebesgue-messbarer Mengen.
- Da \(g\) Lebesgue-messbar ist, und \(f^{-1}(A)\) eine Borelmenge ist (und somit Lebesgue-messbar, da jede Borelmenge auch Lebesgue-messbar ist), folgt, dass das Urbild \(g^{-1}(f^{-1}(A))\) Lebesgue-messbar in \(\mathbb{R}^n\) ist.
Somit haben wir gezeigt, dass \((f \circ g)^{-1}(A)\) für jede Lebesgue-messbare Menge \(A \subset \mathbb{R}\) Lebesgue-messbar in \(\mathbb{R}^n\) ist. Dies impliziert, dass die zusammengesetzte Funktion \(f \circ g\) Lebesgue-messbar ist.
