Abstand windschiefer Geraden: 1: (-4 4 5)+ℝ (-5 -1 4) und 2: (-4 1 3)+ℝ (-7 -3 -4)

Question

Hallo ich benötige Hilfe bei einer Aufgabe die Folgendermaßen lautet:

Gegeben seien die beiden Geraden

1:(-4 4 5)+ℝ (-5 -1 4)
und

2: (-4 1 3)+ℝ (-7 -3 -4)

Bestimmen Sie den minimalen Abstand zwischen diesen Geraden. Dieser ist gegeben durch:

(1,2)=_______
 Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen ich danke im Voraus

Answer 1

Bestimme einen Vektor v, der senkrecht zu beiden Geraden ist.

Erweitere die erste Gerade mittels v als zusätzlichen Reichtungsvektior zu einer Ebene.

Bestimme den Parameter s von v so, dass (-4 4 5)+r (-5 -1 4) + sv = (-4 1 3)+t (-7 -3 -4) ist.

Minimaler Abstand zwischen den Geraden ist |sv|.

Answer 2

g: x = [-4, 4, 5] + r·[-5, -1, 4]

h: x = [-4, 1, 3] + r·[-7, -3, -4]

Forme das Problem durch umhängen eines Richtungsvektors zu dem Abstand eines Punktes von einer Ebene um.

E: x = [-4, 4, 5] + r·[-5, -1, 4] + s·[-7, -3, -4]

P = [-4, 1, 3]

Forme die Ebene in die Koordinatenform und dann in die Abstandsformel um

k·n = [-5, -1, 4] ⨯ [-7, -3, -4] = [16, -48, 8] = 8·[2, -6, 1]

E: x·[2, -6, 1] = [-4, 4, 5]·[2, -6, 1]

E: 2·x - 6·y + z = -27

d = (2·x - 6·y + z + 27)/√(2^2 + 6^2 + 1^2)

Setze dort nur den Punkt ein

d = (2·(-4) - 6·1 + 3 + 27)/√(2^2 + 6^2 + 1^2) = 16/41·√41 = 2.499 LE