Abbildung auf einer Gruppe stets bijektiv: x ---> x^{-1}

Question

ich will zeigen, dass folgendes gilt: Sei (G, * ) eine Gruppe. Die Abbildung φ: G -> G, x -> x^-1 ist stets bijektiv.

Dies bedeutet ja, dass ich die Injektivität und Bijektivität beweisen muss. 
1) Injektiv: Wenn f(x)=f(y) dann x=y, seien also x,y aus G mit f(x)=f(y) also x^-1 = y^-1

Nun muss ich es doch so umformen, dass ich auf x = y komme, oder? Irgendwie ist es mir aber ein Rätsel, wie ich das schaffe..

Answer 1

habt ihr nicht gezeigt, dass eine Abbildung f: A->B genau dann bijektiv ist, wenn es eine Abbildung g: B -> A mit f o g = idB, g o f= idA gibt?

Wenn ja überlege mal was φoφ ist.

Wenn nein könntest du jetzt von links mit x und von rechts mit y multiplizieren, also

$$ x^{-1} = y^{-1} \implies xx^{-1}y = xy^{-1}y \implies x=y $$

Grüße

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! 

Wir haben folgendes Lemma: f: x ->y ist umkehrbar <=> f bijektiv (und auf ganz x definiert)

φoφ = (x^-1)^-1=x, oder nicht? 

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Ja, genau φoφ ist die Identität auf G, d.h. φ ist umkehrbar (das ist im Detail übrigens genau das was ich oben hingeschrieben Jahr) und somit bijektiv.

Du musst eventuell noch begründen, warum

$$ (x^{-1})^{-1} = x$$

Aber da

$$(x^{-1})^{-1} \cdot x^{-1}  = e = x \cdot x^{-1}$$

folgt das sofort mit der Kürzungsregel, bzw. wegen der Eindeutigkeit des Inversen.

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Mhm, ich glaube fast, dass das denen eine "zu kurze" Begründung ist.. oder? 

Anderenfalls könnte ich ja noch die Surjektivität zeigen, oder? 

2) Surjektivität: Sei y ∈ G. Z.z. Es gibt ein x aus G mit f(x) = y, also

x^-1 = y 
y^-1*x^-1 = y*y^-1

x*y^-1*x^-1 = y*y^-1*x
y^-1 = x, somit bewiesen, dass es ein x gibt?

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Würden meine Studis das so abgeben, fände ich das vollkommen ausreichend. Die Begründung muss stimmen, nicht zwingend ellenlang sein.

Den Beweis für die Surjektivität würde ich so nicht akzeptieren, du sollst die Existenz des x ja erst zeigen, darfst das also nicht annehmen. Besser wäre:

Sei y ∈ G, dann ist

$$ φ( y^{-1} ) = (y^{-1})^{-1} = y $$

Also ist \(y^{-1}\) ein Urbild von y.

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Aber auch hier brauchst du wieder die Begründung von oben ;)

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Okay gut, dann danke ich dir vielmals! :)