Surjektive und Injektive Abbildungen Beweisen

Question

möchte gerne beweisen das $$ \mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad x\mapsto 3x+2 $$ injektiv ist.

Hier ist meine Rechnung :

$$ ∀x,x'∈M:f(x1)=f(x2)\quad ⇒x=x'. $$

$$ 3x + 2 = 3x' + 2 \Leftrightarrow 3x = 3x' \Leftrightarrow x = x'$$

Damit sollte bewiesen sein, dass die Funktion injektiv ist.

Jedoch verstehe ich nicht, wie ich hier beweisen kann, dass die Abbildung surjektiv ist.

$$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, \quad (a,b)\mapsto a+b$$

Ich muss zeigen, dass

$$ ∀y∈\mathbb{Z} ∃x∈\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: y=f(x) $$ $$f(a,b)= y = a + b $$

Jedoch komme ich irgendwie nicht mit dem Tupel klar, da ich normalerweise einfach zur der einen variable zb y = x + 1 nach x umgeformt hätte und dies dann in f eingesetzt, jedoch verstehe ich nicht, wie dies beim Tupel gehen soll.

Könntet ihr mir bitte sagen, ob die erste Rechnung richtig ist und bei der zweiten bitte einen kleinen Denkanstoß geben ?

MfG Max

Answer 1

Damit sollte bewiesen sein, dass die Funktion injektiv ist.

Du verwendest ein mal \(x\) und \(x'\), ein anderes mal \(x1\) und \(x2\)

Jedoch verstehe ich nicht, wie ich hier beweisen kann, dass die Abbildung surjektiv ist.

y = y + 0 = f(y,0) für alle y ∈ ℤ.

einfach zur der einen variable zb y = x + 1 nach x umgeformt hätte

Dann wäre y = f(x, 1). Deine Gleichung umgeformt ergibt x = y-1. Also ist y = f(y-1, 1). Damit hättest du auch gezeigt, dass f surjektiv ist.

Laut Definition von Surjektivität wird nur gefordert "Es gibt ein x". Auf dem Weg, ein solches x zu finden, darfst du Teile dieses x festlegen (in deiner Aufgabe ist x ein Paar aus zwei Zahlen; eine dieser Zahlen darfst du festlegen und dann schauen was du als andere Zahl benötigst).

Comments

Danke für deine Antwort.

Habe wohl bei der ersten Aufgabe vergessen x1 = x und x2 = x' zu setzen.

$$ ∀x,x'∈M:f(x)=f(x')\quad ⇒x=x'. $$

$$ 3x + 2 = 3x' + 2 \Leftrightarrow 3x = 3x' \Leftrightarrow x = x' $$

Dann sollte alles passen. Könntest du mir noch ggf beantworten, ob diese linksseitige Umkehrabbildung für die erste Abbildung richtig ist ?

$$ g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad x\mapsto \frac { x -2 }{3}\\(g\circ f)(x)=\frac { (3x+2)-2 }{ 3 } =\frac { 3x }{  3}  = x $$

Und zu der zweiten Abbildung also

$$ f: Z\times Z\to Z, \quad (a,b)\mapsto a+b\\f(a,b)=z=a+b\\f(a,0)=a+0=a=z\\z\in Bild(f) $$