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Folgende Aufgabe:
Es sei das komplexe Polynom P(z) = z3 + a2z2 + a1z + a0 für z aus C gegeben. Die
Nullstellen seien z1, z2 und z3. Folgendes sei bekannt:
• a0, a1, a2 aus R,
• z1 = 3i ist eine Nullstelle von P,
• P(0) = −9.
(i) Begründen Sie, dass z2 = −3i eine Nullstelle von P ist.
(ii) Bestimmen Sie z3 und geben Sie a0, a1 und a2 an.
Das Vorgehen für Teilaufgabe i) ist mir klar. Da das Polynom aus reellen Koeffizienten besteht und Grad 3 ist, muss z2=-3i sein, also das komplex konjugierte von z1 (Fundamentalsatz der Algebra).
Jedoch fehlt mir ein Ansatz für ii). Ich weiß, dass mein a0=-9 ist und ich die Koeffizienten(a2,a1 etc.) und somit mein Polynom mithilfe der Linearfaktorzerlegung aller drei Nullstellen bestimmen kann. Mir ist nur nicht klar wie ich z3 bestimmen kann. Ich wäre dankbar für eine kleine Hilfestellung.
MFG
