Aussagenäquivalenz zu drei verschiedenen komplexen Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3| zeigen

Question

(a)

Es seien z_1,z_{2 ,}z₃ verschiedene komplexe Zahlen mit |z₁| = |z₂| = |z₃|. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

 (i) z1,z2 ,z3 sind -die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:

     |z1-z2| = |z2 -z3| = |z3-z1|

 (ii)

 z1+z2+z3 = 0

 (iii)

 z1,z2 ,z3 sind Lösungen einer Gleichung z³ - c = 0 mit c ∈ ℂ^*

(b)

 Schreiben sie das Polynom z³ - 1 als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 bzw. 2 mit reellen Koeffizienten

Zur a) ii)

Da die Strecken zwischen den Zs alle im gleichen Winkel zueinder liegen und der Betrag jener gleich ist, muss die Summe der Punkte 0 sein.

stimmt das? ich komm hier wirklich nirgends weiter

Comments

Vom Duplikat:

Titel: z1, z2, z3 seien verschiedene komplexe Zahlen. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen

Stichworte: komplexe,zahlen,komplexe-zahlen,äquivalenz,beweis

(a) Es seien z1, z2, z3 verschiedene komplexe Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3|.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) z1, z2, z3 sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:  |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1|.

(ii) z1 + z2 + z3 = 0.

(iii) z1, z2, z3 sind Lösungen einer Gleichung z^3 − c = 0 mit c ∈ C/{0}

(b) Schreiben Sie das Polynom z^3 − 1 als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 bzw. 2 mit reellen Koeffizienten.

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Hallo

 da die zi alle den gleichen Betrag haben, liegen sie auf einem Kreis um 0. zeichne darein ein gleichseitiges Dreieck un du siehst, wie man es beweist,

Gruß lul

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Vom Duplikat:

Titel: Äquivalenz von Aussagen zeigen: Es seien z1, z2, z3 verschiedene komplexe Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3|.

Stichworte: verschiedene,komplexe,zahlen,äquivalenz

Ich sitze an folgender Aufgabe und verzweifle einfach daran. Es wäre echt toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

(a) Es seien z₁, z₂, z₃ verschiedene komplexe Zahlen mit

     |z₁| = |z₂| = |z₃|.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.


(i) z₁, z₂, z₃ sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:

    |z₁ - z₂| = |z₂ - z₃| = |z₃ - z₁|.

(ii) z₁ + z₂ + z₃ = 0

(iii) z₁, z₂, z₃ sind Lösungen einer Gleichung z₃ - c = 0 mit

     c ∈ ℂ \{0}.

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Diese Frage wurde gestern schon einmal gestellt.

Answer 1

Hallo

eine Möglichkeit : da all Z auf einem Kreis um 0 liegen, kannst du ein Beispiel zeichnen, und daran alles ablesen, deine Antwort reicht nicht: wenn alle Winkel gleich sind etwa 30° ist die Summe nicht 0.

zu iii hast du die Gleichung gelöst= auf dem Kreis mit Radius  dritte Wurzel c kannst du die Lösungen direkt einzeichnen!

ohne Zeichnen, nur Rechnen z=r*eiφ. gehen die Beweise auch einfach,

Gruß lul

Comments

Aber die Seiten sind doch gleich also müssen die Winkel 60° sein richtig? 180° im dreieck oder ist das bei komplexen zahlen anders?

und verstanden hab ich die iii damit leider nicht, aber es hört sich plausibel an.

was ist e?

Kann ich von dieser Zeichnung alles ablesen?