Ich vermute mal du meinst, dass die Wurzel nicht nicht nur vor dem 3n steht, sondern vor dem ganzen Term, also
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+5^n+7^n} \ ?$$
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+5^n+7^n} = \lim_{n \to \infty} (3^n+5^n+7^n)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} exp \left( \frac{ln(3^n+5^n+7^n)}{n} \right) = exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3^n+5^n+7^n)}{n} \right) $$
Hier l'Hospital anwenden:
$$ \Rightarrow \quad exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{3^n ln(3)+5^n ln(5) + 7^n ln(7)}{3^n+5^n+7^n} \right) = exp \left(\lim_{n \to \infty} \frac{3^n ln(3)}{3^n+5^n+7^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{5^n ln(5)}{3^n+5^n+7^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7^n ln(7)}{3^n+5^n+7^n} \right) = exp \left(\lim_{n \to \infty} \frac{ln(3)}{1+ \left( \frac{5}{3} \right)^n+\left( \frac{7}{3} \right)^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{ln(5)}{ \left( \frac{3}{5} \right)^n+1+\left( \frac{7}{5} \right)^n} + \lim_{n \to \infty} \frac{ln(7)}{\left( \frac{3}{7} \right)^n+ \left( \frac{5}{7} \right)^n+1} \right) = exp ( 0+0 + ln(7)) = exp(ln(7)) = 7$$