Zeigen Sie: lim n→∞ √n ( (n√n) − 1) = 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n\left(\sqrt[n]{n}-1\right)}=0\)

Also "Wurzel aus n mal n-te Wurzel von n und minus 1"

Problem/Ansatz:

Ich versuche die Aufgabe mit dem Epsilon Kriterium zu lösen, komme aber auf kein passendes n_0, sodass ich eine geeignete Ungleichung formulieren kann.

Comments

(√n) * ( (n√n) − 1) sollte da stehen und nicht √n * ( (n√n) − 1) sorry

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@Tschakabumba: Es soll vermutlich \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot(\sqrt[n\,]n-1)=0\) heißen.

Answer 1

Hallo

benutze Erweitern mit n√n+1 (3, Binom)

Gruß lul

Comments

Im Grunde muss ja ja nur zeigen, dass

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

oder?

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Ich habe √n ( (n√n) − 1) < ε mit n√n+1 erweitert und die 3 Binomische Formel angewendet aber irgendwie sehe ich nicht, wie ich da weiter machen kann.

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Hallo

ich hatte statt der Klammer einen Bruch gesehen, wenn es wirklich √n*(n√n-1) sin sollte und nicht √n/(n√n-1) konvergiert das schnell gegen oo und sicher nicht gegen 0

Gruß lul

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Warum?
Setzt man z.B 10000 für n ein, dann erhält man:

√n * ( (n√n) − 1) = √10000 * ( (10000√10000) − 1) = 100 * (1,000921456  - 1) = 0.0921...
Setzt man 1 mio für n ein nähert sich die Folge weiter der 0 und nicht ∞

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Hallo

bei mir ist (10000√10000) − 1)=10000*100-1=1000000-1=999999? wie kommst du auf dein 1,000921456

da steht doch ausmultipliziert n^2-√n da?  und dass n^2 viel schneller wächst als √n siehst du doch hoffentlich?

lul

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Gemeint ist nicht \(n\cdot\sqrt n\), sondern \(\sqrt[n\,]n\).

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Arsinoë4 hat Recht, sorry lul, falls der Term undeutlich formuliert war.